東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 流体力学 第1問

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• 东北大学
• 涡度与流函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. $xy$ 平面において，非粘性・非圧縮性流体の2次元渦無し流れを考える。この流れの $x$ 方向の速度成分 $u$，$y$ 方向速度成分 $v$ が

$$u=ax^2+by^2+c,\qquad v=dxy\qquad(a,b,c,d:\text{定数})$$

と与えられるとき，以下の問いに答えよ。

(1) 連続の式が成り立つために，$a,b,c,d$ が満たすべき条件を求めよ。

(2) 流れが渦無しであるために，$a,b,c,d$ が満たすべき条件を求めよ。

(3) $d=2$ のとき，速度ポテンシャル $\phi(x,y)$ と流れ関数 $\psi(x,y)$ を $x,y,c$ を用いて表せ。ただし，$\phi(0,0)=\psi(0,0)=0$ であるものとする。

题目描述

1. 在 $xy$ 平面中考虑无黏、不可压缩流体的二维无旋流。设流动在 $x$ 方向的速度分量 $u$ 和 $y$ 方向的速度分量 $v$ 为

$$u=ax^2+by^2+c,\qquad v=dxy\qquad(a,b,c,d:\text{常数}).$$

回答下列问题。

(1) 求连续性方程成立时 $a,b,c,d$ 应满足的条件。

(2) 求流动无旋时 $a,b,c,d$ 应满足的条件。

(3) 当 $d=2$ 时，用 $x,y,c$ 表示速度势 $\phi(x,y)$ 和流函数 $\psi(x,y)$。设 $\phi(0,0)=\psi(0,0)=0$。

Kai

(1), (2)

非圧縮の連続式から

$$u_x+v_y=(2a+d)x=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{d=-2a}.$$

また渦度ゼロの条件から

$$v_x-u_y=(d-2b)y=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{d=2b}.$$

$c$ はいずれからも拘束されない。

(3)

$d=2$ より $a=-1,b=1$ である。$u=\phi_x,v=\phi_y$ とすると

$$\phi=-\frac{x^3}3+xy^2+cx+f(y).$$

$\phi_y=2xy+f'(y)=v$ より $f$ は定数で、原点条件よりゼロ。従って

$$\boxed{\phi=-\frac{x^3}3+xy^2+cx}.$$

流れ関数を $u=\psi_y,v=-\psi_x$ で定義すると

$$\psi=-x^2y+\frac{y^3}3+cy+g(x).$$

$-\psi_x=2xy-g'(x)=v$ と原点条件から $g=0$、ゆえに

$$\boxed{\psi=-x^2y+\frac{y^3}3+cy}.$$

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 13ページ