東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年秋季 電磁気学 第2問

标签：

• 东北大学
• 电磁感应与电感
• 互感

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

2017年10月・2018年4月入学対象、2017年8月実施。

同軸の長いソレノイド $C_1,C_2$ は、ともに長さ $L$、巻数 $N$ で、半径はそれぞれ $r_1,r_2$（$r_1>r_2$）である。外側の $C_1$ に電源から $I=I_0\sin\omega t$ が流れる。内側の $C_2$ にはスイッチを介して抵抗 $R$ が接続され、最初スイッチは開いている。真空の透磁率を $\mu_0$ とし、端効果と巻線の抵抗は無視する。

1. マクスウェル方程式からアンペールの法則の積分形を導け。ただし変位電流は無視する。
2. マクスウェル方程式からファラデーの法則の積分形を導け。
3. $C_1$ 内部の磁場を求めよ。
4. 電源電圧 $V$ と電源が供給する電力 $P$ を求めよ。
5. $C_2$ の両端に生じる誘導電圧 $V_2$ を求めよ。
6. スイッチを閉じた場合、$C_2$ の両端電圧と電源の供給電力はどう変わるか。理由とともに述べよ。

题目描述

本题为2017年8月实施、面向2017年10月及2018年4月入学的考试。

两长螺线管同轴，长度均为 $L$、匝数均为 $N$，外半径 $r_1$ 大于内半径 $r_2$。外管电流 $I_0\sin\omega t$；内管经开关接负载 $R$，开关起初断开，忽略端效应与绕组电阻。（1）（2）从麦克斯韦方程导出安培及法拉第定律的积分形式；（3）求外管内部磁场；（4）求电源电压与功率；（5）求内管开路电压；（6）说明接通负载后电压与电源功率的变化。

Kai

(1)

変位電流を無視すると $\nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol J$。面 $S$ の境界を向きの整合する閉曲線 $C$ として、ストークスの定理より

$\boxed{\oint_C\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l=\int_S\boldsymbol J\cdot d\boldsymbol S=I_{\mathrm{enc}}}.$

(2)

$\nabla\times\boldsymbol E=-\partial\boldsymbol B/\partial t$ を固定した面 $S$ 上で積分して

$\boxed{\oint_C\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol l=-\frac{d}{dt}\int_S\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=-\frac{d\Phi}{dt}}.$

(3)

管内外を通る長方形のアンペール経路をとる。長いソレノイドの外部磁場を無視すれば $HL=NI$ なので

$\boxed{H_1=\frac{NI_0}{L}\sin\omega t}.$

向きは巻線の電流に対する右ねじの方向である。

(4)

鎖交磁束から自己インダクタンスは $L_1=\mu_0N^2\pi r_1^2/L$。電源が自己誘導起電力に逆らって加える電圧を正とすると

$\boxed{V=L_1\dot I=\frac{\mu_0N^2\pi r_1^2}{L}\omega I_0\cos\omega t}.$

瞬時電力と周期平均電力は

$\boxed{P(t)=VI=\frac12 L_1\omega I_0^2\sin2\omega t},\qquad \boxed{\overline P=0}.$

磁場への蓄積と電源への返還が交互に生じる。

(5)

$C_2$ に鎖交するのは断面 $\pi r_2^2$ の磁束だから、相互インダクタンスは

$M=\frac{\mu_0N^2\pi r_2^2}{L}.$

二次側の電圧極性を選んで

$\boxed{V_2=M\dot I=M\omega I_0\cos\omega t}.$

端子の取り方を逆にすれば符号は逆になる。

(6)

一次電流を引き続き指定の $I_0\sin\omega t$ に保つものとする。二次電流 $I_2$ の正方向を一次磁束の変化を打ち消す向きに選ぶと、$L_2=\mu_0N^2\pi r_2^2/L=M$ として

$L_2\dot I_2+RI_2=M\dot I.$

定常状態で $\delta=\tan^{-1}(\omega L_2/R)$ とおけば

$I_2=\frac{\omega MI_0}{\sqrt{R^2+\omega^2L_2^2}}\cos(\omega t-\delta),\qquad V_2'=RI_2.$

従って二次端子電圧は開路時の $R/\sqrt{R^2+\omega^2L_2^2}$ 倍に小さくなり、位相が $\delta$ 遅れる。これは二次電流の作る磁場が元の磁束変化を打ち消すためである。一次電圧は $V'=L_1\dot I-M\dot I_2$ に変化し、平均供給電力は

$\boxed{\overline P'=R\overline{I_2^2}=\frac{R\omega^2M^2I_0^2}{2(R^2+\omega^2L_2^2)}>0}.$

電源は負荷抵抗で消費されるジュール熱を補う。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 24ページ