東北大学 工学研究科 機械・知能系 2017年8月実施 制御工学 第1問

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• 东北大学
• 奈奎斯特稳定判据
• 稳态误差

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 図1に示すフィードバック制御系を考える。ここで，

$$G(s)=\frac{k}{s(2s+1)(s+4)}$$

であり，$k$ は正の定数とする。以下の問いに答えよ。

(1) このシステムの一巡伝達関数を求め，そのベクトル軌跡の概形を描け。

(2) 一巡伝達関数の位相が $-180^\circ$ となるときの角周波数を位相交差周波数という。このシステムの位相交差周波数を求めよ。

(3) このシステムが安定限界となる $k$ の値を求めよ。

(4) このシステムの入力 $U(s)$ から出力 $Y(s)$ への伝達関数を示し，安定となる $k$ の条件を求めよ。

(5) このシステムにおける定常速度偏差 $e_v$ が $e_v\le0.4$ となる $k$ の条件を求めよ。

题目描述

1. 考虑图1所示的反馈控制系统，其中

$$G(s)=\frac{k}{s(2s+1)(s+4)},$$

$k$ 为正常数。回答下列问题。

(1) 求该系统的开环传递函数，并画出其幅相轨迹的大致形状。

(2) 开环传递函数的相位等于 $-180^\circ$ 时的角频率称为相位穿越频率。求该系统的相位穿越频率。

(3) 求使该系统处于稳定边界的 $k$ 值。

(4) 写出该系统从输入 $U(s)$ 到输出 $Y(s)$ 的传递函数，并求系统稳定时 $k$ 应满足的条件。

(5) 求使该系统的稳态速度误差 $e_v$ 满足 $e_v\le0.4$ 的 $k$ 的条件。

图1中输出以单位负反馈接回输入端。

Kai

(1)

一巡伝達関数は $L(s)=G(s)$。$s=j\omega$ とすると、$D(\omega)=81\omega^2+(4-2\omega^2)^2$ を用いて

$$\begin{gathered} L(j\omega)=\frac{k}{-9\omega^2+j\omega(4-2\omega^2)},\\ \operatorname{Re}L=-\frac{9k}{D},\\ \operatorname{Im}L=-\frac{k(4-2\omega^2)}{\omega D}. \end{gathered}$$

$\omega\to0^+$ では実部は $-9k/16$、虚部は $-\infty$。$\omega=\sqrt2$ で負の実軸を横切り、$\omega\to\infty$ では第2象限から原点に近づく。負の周波数側は実軸に関する鏡像である。

(2)

$\operatorname{Im}L=0$ より

$$\boxed{\omega_{\mathrm{pc}}=\sqrt2\ \mathrm{rad/s}},\qquad L(j\sqrt2)=-\frac{k}{18}.$$

(3)

軌跡が $-1$ を通る条件から $\boxed{k=18}$。

(4)

$$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\boxed{\frac{k}{2s^3+9s^2+4s+k}}.$$

特性多項式のフルビッツ条件は、係数が正で $9\cdot4>2k$。従って

$$\boxed{0<k<18}.$$

(5)

安定な系について、単位ランプ入力に対する速度定数は $K_v=\lim_{s\to0}sL(s)=k/4$、定常速度偏差は $e_v=1/K_v=4/k$。

$$\frac4k\le0.4\iff k\ge10.$$

安定条件も合わせて $\boxed{10\le k<18}$。

Reference

• 東北大学公式問題の保存版：2017年8月実施、PDF 19ページ