東北大学 工学研究科 マテリアル・開発系 2022年8月実施 【数学-1,2】

标签：

• 东北大学
• 逆矩阵
• 散度定理
• 三重积分
• 复数根
• 泰勒级数与收敛半径

Author

Miyake

Description

数学－1

以下の問に答えよ．

問1

$$A=\begin{pmatrix}2&4&3\\1&5&1\\3&4&5\end{pmatrix}$$

の逆行列 $A^{-1}$ を，公式 $A^{-1}=\dfrac1{|A|}\widetilde A$（ただし，$\widetilde A$ は $A$ の余因子行列），もしくは掃き出し法で求めよ．

問2

空間ベクトル場 $\boldsymbol f=(x^2,2xz,z^2)$ において，図1に示すように $x=0,y=0,z=0$ の三つの座標平面と，平面 $y=1$ と平面 $z=3-x$ とで囲まれる領域を $V$ とおく．$\displaystyle\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol f\,dV$ を求めよ．

数学－2

以下の問に答えよ．ただし，$z$ は複素数とし，$i=\sqrt{-1}$ は虚数単位である．

問1 $\displaystyle\sqrt[4]{\frac{\sqrt3}{4}-\frac14i}$ のべき乗根を全て求め，複素平面上に図示せよ．

問2 $f(z)=\dfrac1{z+1}$ を，$z=1$ を中心にテイラー展開せよ．また，収束半径を求めよ．

問3 次の積分を求めよ．ただし，$C$ は任意の単一閉曲線とする．

$$I=\int_C\frac{4-3z}{z^2-z}\,dz$$

题目描述

数学－1 回答下列问题。

问1 用公式 $A^{-1}=\dfrac1{|A|}\widetilde A$（其中 $\widetilde A$ 为 $A$ 的伴随矩阵）或消元法，求下列矩阵的逆矩阵。

$$A=\begin{pmatrix}2&4&3\\1&5&1\\3&4&5\end{pmatrix}$$

问2 在空间向量场 $\boldsymbol f=(x^2,2xz,z^2)$ 中，如上方图1所示，将由三个坐标平面 $x=0,y=0,z=0$、平面 $y=1$ 和平面 $z=3-x$ 围成的区域记作 $V$。求 $\displaystyle\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol f\,dV$。

数学－2 回答下列问题。其中 $z$ 为复数，$i=\sqrt{-1}$ 为虚数单位。

问1 求 $\displaystyle\frac{\sqrt3}{4}-\frac14i$ 的全部四次方根，并在复平面上画出。

问2 将 $f(z)=\dfrac1{z+1}$ 在 $z=1$ 处展开成泰勒级数，并求收敛半径。

问3 求下列积分，其中 $C$ 为任意简单闭曲线。

$$I=\int_C\frac{4-3z}{z^2-z}\,dz$$

Kai

【数学-1】

問 1

$$\begin{aligned} \left| A \right| &= 1 \\ A^{-1} &= \begin{pmatrix} 21 & -8 & -11 \\ -2 & 1 & 1 \\ -11 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \boldsymbol{f} = 2x+2z \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \iiint_V \mathrm{div} \boldsymbol{f} \ dV &= 2 \iiint_V (x+z) \ dV \\ &= 2 \int_0^1 dy \int_0^3 dz \int_0^{3-z} dx \ (x+z) \\ &= 2 \int_0^3 dz \left[ \frac{x^2}{2} + xz \right]_{x=0}^{x=3-z} \\ &= \int_0^3 dz \ \left( -z^2 + 9 \right) \\ &= 18 \end{aligned}$$

を得る。

【数学-2】

問 1

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i &= \frac{1}{2} e^{\frac{11}{6} \pi i} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i \right)^\frac{1}{4} &= \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{11}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{23}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{35}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{47}{24} \pi i} \end{aligned}$$

がわかる。

問 2

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z+1} \\ &= \frac{1}{(z-1)+2} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \left( - \frac{z-1}{2} \right)} \end{aligned}$$

と変形できるので、 $z=1$ を中心とするテイラー展開は

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left( - \frac{z-1}{2} \right)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (z-1)^n \end{aligned}$$

であり、収束半径は $2$ である。

問 3

$$\frac{4-3z}{z^2-z}=-\frac4z+\frac1{z-1}.$$

したがって、留数は $z=0$ で $-4$、$z=1$ で $1$ である。正向き（反時計回り）の単純閉曲線では

$$I=\begin{cases} 0,&0,1\text{ のいずれも外部},\\ -8\pi i,&0\text{ のみ内部},\\ 2\pi i,&1\text{ のみ内部},\\ -6\pi i,&0,1\text{ とも内部}. \end{cases}$$

時計回りなら符号が逆になる。一般には巻き数 $\operatorname{Ind}_C$ を用いて $I=2\pi i[-4\operatorname{Ind}_C(0)+\operatorname{Ind}_C(1)]$ と書ける。$C$ が $0$ または $1$ を通る場合、通常の意味の積分は定義されない。

Reference

• 東北大学 マテリアル・開発系 令和5年度入学試験（2022年度実施）