東北大学 工学研究科 マテリアル・開発系 2022年8月実施 【数学-1,2】

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• Tohoku-University
• Matrix-Inverse
• Divergence-Theorem
• Triple-Integral
• Complex-Roots
• Taylor-Series-and-Radius-of-Convergence

Author

Miyake

Description

原題に基づく要約（日本語）

公式原題

数学1

1. $A=\begin{pmatrix}2&4&3\\1&5&1\\3&4&5\end{pmatrix}$ の逆行列を求める。
2. $\boldsymbol f=(x^2,2xz,z^2)$ とする。平面 $x=0,y=0,z=0,y=1,z=3-x$ に囲まれた領域 $V$ 上で $\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol f\,dV$ を計算する。

数学2

1. $\sqrt3/4-i/4$ の4乗根をすべて求め、複素平面に図示する。
2. $f(z)=1/(z+1)$ を $z=1$ のまわりで Taylor 展開し、収束半径を求める。
3. 任意の単一閉曲線 $C$ に沿う $\displaystyle\oint_C(4-3z)/(z^2-z)\,dz$ を求める。曲線が囲む特異点により場合分けする。

题目描述

【数学 1】

1. 求矩阵 $A=\begin{pmatrix}2&4&3\\1&5&1\\3&4&5\end{pmatrix}$ 的逆矩阵。
2. 向量场为 $\boldsymbol f=(x^2,2xz,z^2)$，区域 $V$ 由平面 $x=0,y=0,z=0,y=1,z=3-x$ 围成，计算 $\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol f\,dV$。

【数学 2】

1. 求 $\sqrt3/4-i/4$ 的全部四次方根，并在复平面上表示。
2. 将 $f(z)=1/(z+1)$ 在 $z=1$ 处展开为 Taylor 级数，求收敛半径。
3. 对简单闭曲线 $C$，按其围住的奇点分类，求 $\oint_C(4-3z)/(z^2-z)\,dz$。

Kai

【数学-1】

問 1

$$\begin{aligned} \left| A \right| &= 1 \\ A^{-1} &= \begin{pmatrix} 21 & -8 & -11 \\ -2 & 1 & 1 \\ -11 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \boldsymbol{f} = 2x+2z \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \iiint_V \mathrm{div} \boldsymbol{f} \ dV &= 2 \iiint_V (x+z) \ dV \\ &= 2 \int_0^1 dy \int_0^3 dz \int_0^{3-z} dx \ (x+z) \\ &= 2 \int_0^3 dz \left[ \frac{x^2}{2} + xz \right]_{x=0}^{x=3-z} \\ &= \int_0^3 dz \ \left( -z^2 + 9 \right) \\ &= 18 \end{aligned}$$

を得る。

【数学-2】

問 1

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i &= \frac{1}{2} e^{\frac{11}{6} \pi i} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i \right)^\frac{1}{4} &= \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{11}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{23}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{35}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{47}{24} \pi i} \end{aligned}$$

がわかる。

問 2

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z+1} \\ &= \frac{1}{(z-1)+2} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \left( - \frac{z-1}{2} \right)} \end{aligned}$$

と変形できるので、 $z=1$ を中心とするテイラー展開は

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left( - \frac{z-1}{2} \right)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (z-1)^n \end{aligned}$$

であり、収束半径は $2$ である。

【数学-2】問 3

$\frac{4-3z}{z^2-z}=-\frac4z+\frac1{z-1}.$

したがって、留数は $z=0$ で $-4$、$z=1$ で $1$ である。正向き（反時計回り）の単純閉曲線では

$$I=\begin{cases} 0,&0,1\text{ のいずれも外部},\\ -8\pi i,&0\text{ のみ内部},\\ 2\pi i,&1\text{ のみ内部},\\ -6\pi i,&0,1\text{ とも内部}. \end{cases}$$

時計回りなら符号が逆になる。一般には巻き数 $\operatorname{Ind}_C$ を用いて $I=2\pi i[-4\operatorname{Ind}_C(0)+\operatorname{Ind}_C(1)]$ と書ける。$C$ が $0$ または $1$ を通る場合、通常の意味の積分は定義されない。

Reference

• 東北大学 マテリアル・開発系 令和5年度入学試験（2022年度実施）