東北大学 工学研究科 マテリアル・開発系 2022年8月実施 【数学-1,2】

标签：

• Tohoku-University
• Matrix-Inverse
• Divergence-Theorem
• Triple-Integral
• Complex-Roots
• Taylor-Series-and-Radius-of-Convergence

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下依据现有解答整理；其中矩阵和向量场的具体定义未保留。

【数学 1】

1. 对原题给定的三阶矩阵 $A$，求行列式 $|A|$ 与逆矩阵 $A^{-1}$。矩阵 $A$ 本身未保留在当前文件中。
2. 对原题给定的向量场 $\boldsymbol f$，使用 Gauss 散度定理计算其通过区域 $V$ 边界的通量。解答显示 $\operatorname{div}\boldsymbol f=2x+2z,$ 且区域为 $0\le y\le1,\qquad0\le z\le3,\qquad0\le x\le3-z.$

【数学 2】

1. 求复数 $\frac{\sqrt3}{4}-\frac14i$ 的全部四次方根。
2. 将 $f(z)=\frac1{z+1}$ 在 $z=1$ 处展开为 Taylor 级数，并求收敛半径。

考点

• 矩阵行列式与逆矩阵：计算三阶矩阵的可逆性及逆。
• Gauss 散度定理：把闭曲面通量转化为区域上的散度三重积分。
• 复数的极形式与开方：由模和辐角列出全部复数根。
• 复 Taylor 级数：化为几何级数并由最近奇点确定收敛半径。

Kai

【数学-1】

問 1

$$\begin{aligned} \left| A \right| &= 1 \\ A^{-1} &= \begin{pmatrix} 21 & -8 & -11 \\ -2 & 1 & 1 \\ -11 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \boldsymbol{f} = 2x+2z \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \iiint_V \mathrm{div} \boldsymbol{f} \ dV &= 2 \iiint_V (x+z) \ dV \\ &= 2 \int_0^1 dy \int_0^3 dz \int_0^{3-z} dx \ (x+z) \\ &= 2 \int_0^3 dz \left[ \frac{x^2}{2} + xz \right]_{x=0}^{x=3-z} \\ &= \int_0^3 dz \ \left( -z^2 + 9 \right) \\ &= 18 \end{aligned}$$

を得る。

【数学-2】

問 1

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i &= \frac{1}{2} e^{\frac{11}{6} \pi i} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i \right)^\frac{1}{4} &= \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{11}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{23}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{35}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{47}{24} \pi i} \end{aligned}$$

がわかる。

問 2

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z+1} \\ &= \frac{1}{(z-1)+2} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \left( - \frac{z-1}{2} \right)} \end{aligned}$$

と変形できるので、 $z=1$ を中心とするテイラー展開は

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left( - \frac{z-1}{2} \right)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (z-1)^n \end{aligned}$$

であり、収束半径は $2$ である。