東北大学 工学研究科 マテリアル・開発系 2022年8月実施 【数学-1,2】

标签：

• Tohoku-University
• Matrix-Inverse
• Divergence-Theorem
• Triple-Integral
• Complex-Roots
• Taylor-Series-and-Radius-of-Convergence

Author

Miyake

Description

Kai

【数学-1】

問 1

$$\begin{aligned} \left| A \right| &= 1 \\ A^{-1} &= \begin{pmatrix} 21 & -8 & -11 \\ -2 & 1 & 1 \\ -11 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

問 2

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \boldsymbol{f} = 2x+2z \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \iiint_V \mathrm{div} \boldsymbol{f} \ dV &= 2 \iiint_V (x+z) \ dV \\ &= 2 \int_0^1 dy \int_0^3 dz \int_0^{3-z} dx \ (x+z) \\ &= 2 \int_0^3 dz \left[ \frac{x^2}{2} + xz \right]_{x=0}^{x=3-z} \\ &= \int_0^3 dz \ \left( -z^2 + 9 \right) \\ &= 18 \end{aligned}$$

を得る。

【数学-2】

問 1

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i &= \frac{1}{2} e^{\frac{11}{6} \pi i} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} i \right)^\frac{1}{4} &= \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{11}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{23}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{35}{24} \pi i} , \frac{1}{2^\frac{1}{4}} e^{\frac{47}{24} \pi i} \end{aligned}$$

がわかる。

問 2

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{z+1} \\ &= \frac{1}{(z-1)+2} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \left( - \frac{z-1}{2} \right)} \end{aligned}$$

と変形できるので、 $z=1$ を中心とするテイラー展開は

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left( - \frac{z-1}{2} \right)^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (z-1)^n \end{aligned}$$

であり、収束半径は $2$ である。