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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2024年2・3月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description​

(1) Fig.2(a) の回路において、交流電源の電圧は EE[V],端子 a-b 間, b-c 間の電圧はそれぞれ V1,V2V_1,V_2[V]である。電流 I1I_1[A] は並列回路により電流 I2,I3I_2,I_3[A] に分流される。電流 I2I_2 の実効値は 11 A である。電流 I2I_2 をフェーザの基準とする。交流電源の角周波数は 100100 rad/s, 抵抗は R=1ΩR = 1 \Omega, キャパシタンスは CC[F],インピーダンスは LL[H] である。以下の問に答えよ。

  • (a) C=1/100C = 1/100 F,L=1/100L = 1/100 H のとき, I1,I2,I3,V1,V2,EI_1,I_2,I_3,V_1,V_2,E のに力率 cos⁡θ\cos\theta を求めよ。

  • (b) C=1/25C = 1/25 F のとき, 回路が誘導性となる LL の値の範囲を求めよ。

(2) Fig.2(b) の回路において、交流電源の電圧は EE[V], 角周波数は ω\omega rad/s, 自己インダクタンスは L1,L2L_1,L_2[H], 相互インダクタンスは MM[H] である。端子 c-d 間の電圧は V2V_2[V], 端子 a,c を図中の矢印の向きに流れる電流はそれぞれ I1,I2I_1,I_2[A] である。M2<L1L2M^2 < L_1L_2 を満たすとし, 以下の問に答えよ。

  • (a) Fig.2(b) の回路は Fig.2(c) の回路と等価であることを示せ。

  • (b) Fig.2(b) の回路の端子 c-d 間を短絡したとき, 端子 a-b 間から見た入力インピーダンス Zab=E/I1Z_{ab} = E/I_1 を, ω,L1,L2,M\omega,L_1,L_2,M を用いて表せ。

题目描述​

  1. 图 2(a) 中电源电压为 EE，a–b 与 b–c 间电压分别为 V1,V2V_1,V_2；电流 I1I_1 分为 I2,I3I_2,I_3，且 ∣I2∣=1 A|I_2|=1\,\mathrm A。以 I2I_2 为相位基准，角频率为 100 rad/s100\,\mathrm{rad/s}，R=1 ΩR=1\,\Omega，电容与电感分别为 C,LC,L。
    1. 当 C=1/100 FC=1/100\,\mathrm F、L=1/100 HL=1/100\,\mathrm H 时，求 I1,I2,I3,V1,V2,EI_1,I_2,I_3,V_1,V_2,E 的相量关系以及功率因数 cos⁡θ\cos\theta；
    2. 当 C=1/25 FC=1/25\,\mathrm F 时，求使整个电路呈感性的 LL 取值范围。
  2. 图 2(b) 为自感 L1,L2L_1,L_2、互感 MM 的耦合线圈，满足 M2<L1L2M^2<L_1L_2，电源角频率为 ω\omega，一次、二次电流为 I1,I2I_1,I_2。
    1. 证明图 2(b) 与图 2(c) 的耦合线圈电路等效；
    2. 将 c–d 短路时，用 ω,L1,L2,M\omega,L_1,L_2,M 表示从 a–b 看入的阻抗 Zab=E/I1.Z_{ab}=E/I_1.

Kai​

(1)​

(a)​

ωL=1\omega L = 1
ωC=1\omega C = 1
R=1R = 1
I2=I1⋅jωLR+jωL=I1⋅j1+jI_2 = I_1 \cdot \frac{j\omega L}{R + j\omega L} = I_1 \cdot \frac{j}{1 + j}
I1=(1−j)⋅I2I_1 = (1 - j) \cdot I_2
I1=2∠−π4I_1 = \sqrt{2}\angle -\frac{\pi}{4}
I3=I1⋅RR+jωLI_3 = I_1 \cdot \frac{R}{R + j\omega L}
I3=(1−j)⋅11+j⋅I2I_3 = (1 - j) \cdot \frac{1}{1 + j} \cdot I_2
I3=1∠−π2I_3 = 1\angle - \frac{\pi}{2}
V1=1jωC⋅I1=(1−j)j⋅I2=−(1+j)I2V_1 = \frac{1}{j\omega C} \cdot I_1 = \frac{(1 - j)}{j} \cdot I_2 = - (1 + j)I_2
V1=2∠5π4V_1 = \sqrt{2}\angle \frac{5\pi}{4}
V2=I2⋅R=1V_2 = I_2 \cdot R = 1
V2=1∠0V_2 = 1 \angle 0
E=V1+V2=−jI2E = V_1 + V_2 = -jI_2
E=1∠−π2E = 1\angle - \frac{\pi}{2}
E=−jE = -j
I1=1−jI_1 = 1 - j
S=Pe+jPr=EI1∗=(−j)(1+j)=1−jS=P_e+jP_r=E I_1^*=(-j)(1+j)=1-j
Pe=1 W,Pr=−1 varP_e=1\ \mathrm W,\qquad P_r=-1\ \mathrm{var}
cos⁡θ=PePe2+Pr2=22\cos\theta = \frac{P_e}{\sqrt{P_e^2 + P_r^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

(b)​

Z=1jωC+jωLRR+jωL=14j+100jL1+100jLZ = \frac{1}{j\omega C} + \frac{j\omega LR}{R + j\omega L} = \frac{1}{4j} + \frac{100j L}{1 + 100j L}
Im(Z)=100L104L2+1−14>0Im(Z) = \frac{100L}{10^4L^2 + 1} - \frac{1}{4} > 0
104L2−400L+1<010^4L^2 - 400L + 1 < 0
2−3100<L<2+3100H\boxed{\frac{2-\sqrt3}{100}<L<\frac{2+\sqrt3}{100}\quad\mathrm H}

(2)​

(a)​

图 2(c) 是两个耦合线圈的等效表示。图 2(b) 中流入下线圈同名端的电流为 I1−I2I_1-I_2，流入上线圈同名端的电流为 −I2-I_2，因此

E=jωL1(I1−I2)−jωMI2=jωL1I1−jω(L1+M)I2.E=j\omega L_1(I_1-I_2)-j\omega MI_2 =j\omega L_1I_1-j\omega(L_1+M)I_2.

输出端电压为两段线圈电压之和：

V2=jω(L1+M)(I1−I2)−jω(L2+M)I2=jω(L1+M)I1−jω(L1+L2+2M)I2.\begin{aligned} V_2&=j\omega(L_1+M)(I_1-I_2)-j\omega(L_2+M)I_2\\ &=j\omega(L_1+M)I_1-j\omega(L_1+L_2+2M)I_2. \end{aligned}

这恰是图 2(c) 中一次自感 L1L_1、二次自感 L1+L2+2ML_1+L_2+2M、互感 L1+ML_1+M 的电压方程，故两者等效。

(b)​

短路时 V2=0V_2=0，所以

I2=L1+ML1+L2+2MI1.I_2=\frac{L_1+M}{L_1+L_2+2M}I_1.

代回一次电压：

Zab=jω[L1−(L1+M)2L1+L2+2M]=jωL1L2−M2L1+L2+2M.\boxed{Z_{ab}=j\omega\left[L_1-\frac{(L_1+M)^2}{L_1+L_2+2M}\right] =j\omega\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}}.

分子因题设 M2<L1L2M^2<L_1L_2 为正。

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