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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2024年2・3月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

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(1) Fig.2(a) の回路において、交流電源の電圧は EE[V],端子 a-b 間, b-c 間の電圧はそれぞれ V1,V2V_1,V_2[V]である。電流 I1I_1[A] は並列回路により電流 I2,I3I_2,I_3[A] に分流される。電流 I2I_2 の実効値は 11 A である。電流 I2I_2 をフェーザの基準とする。交流電源の角周波数は 100100 rad/s, 抵抗は R=1ΩR = 1 \Omega, キャパシタンスは CC[F],インピーダンスは LL[H] である。以下の問に答えよ。

  • (a) C=1/100C = 1/100 F,L=1/100L = 1/100 H のとき, I1,I2,I3,V1,V2,EI_1,I_2,I_3,V_1,V_2,E のに力率 cos⁡θ\cos\theta を求めよ。

  • (b) C=1/25C = 1/25 F のとき, 回路が誘導性となる LL の値の範囲を求めよ。

(2) Fig.2(b) の回路において、交流電源の電圧は EE[V], 角周波数は ω\omega rad/s, 自己インダクタンスは L1,L2L_1,L_2[H], 相互インダクタンスは MM[H] である。端子 c-d 間の電圧は V2V_2[V], 端子 a,c を図中の矢印の向きに流れる電流はそれぞれ I1,I2I_1,I_2[A] である。M2<L1L2M^2 < L_1L_2 を満たすとし, 以下の問に答えよ。

  • (a) Fig.2(b) の回路は Fig.2(c) の回路と等価であることを示せ。

  • (b) Fig.2(b) の回路の端子 c-d 間を短絡したとき, 端子 a-b 間から見た入力インピーダンス Zab=E/I1Z_{ab} = E/I_1 を, ω,L1,L2,M\omega,L_1,L_2,M を用いて表せ。

Kai​

(1)​

(a)​

ωL=1\omega L = 1
ωC=1\omega C = 1
R=1R = 1
I2=I1⋅jωLR+jωL=I1⋅j1+jI_2 = I_1 \cdot \frac{j\omega L}{R + j\omega L} = I_1 \cdot \frac{j}{1 + j}
I1=(1−j)⋅I2I_1 = (1 - j) \cdot I_2
I1=2∠−π4I_1 = \sqrt{2}\angle -\frac{\pi}{4}
I3=I1⋅RR+jωLI_3 = I_1 \cdot \frac{R}{R + j\omega L}
I3=(1−j)⋅11+j⋅I2I_3 = (1 - j) \cdot \frac{1}{1 + j} \cdot I_2
I3=1∠−π2I_3 = 1\angle - \frac{\pi}{2}
V1=1jωC⋅I1=(1−j)j⋅I2=−(1+j)I2V_1 = \frac{1}{j\omega C} \cdot I_1 = \frac{(1 - j)}{j} \cdot I_2 = - (1 + j)I_2
V1=2∠5π4V_1 = \sqrt{2}\angle \frac{5\pi}{4}
V2=I2⋅R=1V_2 = I_2 \cdot R = 1
V2=1∠0V_2 = 1 \angle 0
E=V1+V2=−jI2E = V_1 + V_2 = -jI_2
E=1∠−π2E = 1\angle - \frac{\pi}{2}
E=−jE = -j
I1=1−jI_1 = 1 - j
Pe=jPr=E∗⋅I1=j⋅(1−j)=1+jP_e = jP_r = E^* \cdot I_1 = j \cdot (1 - j) = 1+ j
Pe=Pr=1P_e = P_r = 1
cos⁡θ=PePe2+Pr2=22\cos\theta = \frac{P_e}{\sqrt{P_e^2 + P_r^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

(b)​

Z=1jωC+jωLRR+jωL=14j+100jL1+100jLZ = \frac{1}{j\omega C} + \frac{j\omega LR}{R + j\omega L} = \frac{1}{4j} + \frac{100j L}{1 + 100j L}
Im(Z)=100L104L2+1−14>0Im(Z) = \frac{100L}{10^4L^2 + 1} - \frac{1}{4} > 0
104L2−400L+1<010^4L^2 - 400L + 1 < 0
L1,2=400±160000−4000020000=150±3100L_{1,2} = \frac{400 \pm \sqrt{160000 - 40000}}{20000} = \frac{1}{50} \pm \frac{\sqrt{3}}{100}

(2)​

(a)​

可以把两个电路都转成T型等效

T型阻抗解耦合是万能的，可以推出变压器，同异名串并联等5种连接的等效阻抗形式，其他不常见的任意组合一般也能等效成T型阻抗。

(b)​

在T型等效电路下求解:

Zab=−jωM+jω(L1+M)⋅jω(L2+M)jω(L2+M+L2+M)=jω⋅(L1L2+M2+(L1+L2)M−M⋅(L1+L2+2M)L1+L2+2M)=jω⋅L1L2−M2L1+L2+2M\begin{aligned} Z_{ab} &= -j\omega M + \frac{j \omega(L_1 + M) \cdot j\omega(L_2 + M)}{j\omega(L_2 + M + L_2 + M)} \\ &= j\omega \cdot \bigg(\frac{L_1L_2 + M^2 + (L_1 + L_2)M - M \cdot (L_1 + L_2 + 2M)}{L_1 + L_2 + 2M}\bigg) \\ &= j\omega \cdot \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2M} \end{aligned}

这正是异名并联的阻抗。

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