東北大学 工学研究科 電気・情報系 2023年8月実施 基礎科目 問題4 情報基礎2

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Miyake, 祭音Myyura

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題意の要約

大学公開の原題、8 ページ

1. 写像 $f:A\to B$ と集合 $S\subseteq A$ に対し、$f(S)=\{f(x):x\in S\}$ とする。(a) $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ を証明する。(b) この包含が等号にならない具体例を与える。
2. $f:A\to B$、$g:B\to C$ について、(a) 両方が単射ならば $g\circ f$ も単射、(b) 両方が全射ならば $g\circ f$ も全射であることを証明する。単射は異なる元の像が異なること、全射は終域の各元が像として現れることを意味する。

题目描述

1. 对映射 $f:A\to B$ 和子集 $S\subseteq A$，定义像集 $f(S)=\{f(x):x\in S\}$。证明 $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$，并举出包含关系严格成立的例子。
2. 对 $f:A\to B$、$g:B\to C$，分别证明：两个映射都是单射时，复合映射 $g\circ f$ 也是单射；两个映射都是满射时，复合映射也是满射。

Kai

(1)

(a)

(i) $f( A_1 \cap A_2 )$ が空集合の場合は、明らかに $f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ である。

(ii) $f( A_1 \cap A_2 )$ は空集合でないとする。 任意の $y \in f( A_1 \cap A_2 )$ について、 $y=f(x)$ であるような $x \in A_1 \cap A_2$ が存在する。 この $x,y$ について、

$$\begin{align} x &\in A_1 \text{ より } y=f(x) \in f(A_1) ,\\ x &\in A_2 \text{ より } y=f(x) \in f(A_2) \end{align}$$

が成り立つから、 $y \in f(A_1) \cap f(A_2)$ である。 よって、 $f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ である。

(i), (ii) より、 $f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ である。

(b)

$$\begin{align} f &: A = \left\{ -1, 1 \right\} \to B = \left\{ 1 \right\}, \ \ x \mapsto x^2 \end{align}$$

とし、

$$\begin{align} A_1 = \left\{ -1 \right\} ,\ \ A_2 = \left\{ 1 \right\} \end{align}$$

とすると、

$$\begin{align} A_1 \cap A_2 &= \emptyset \\ \therefore \ \ f(A_1 \cap A_2) &= \emptyset \end{align}$$

であり（$\emptyset$ は空集合）、

$$\begin{align} &f(A_1) = \left\{ 1 \right\} , \ \ f(A_2) = \left\{ 1 \right\} \\ \therefore \ \ &f(A_1) \cap f(A_2) = \left\{ 1 \right\} \end{align}$$

であるので、

$f( A_1 \cap A_2 ) \neq f(A_1) \cap f(A_2)$ である。

(2)

(a)

$$\begin{align} (g \circ f) (a) = (g \circ f) (b) \end{align}$$

とすると、

$$\begin{align} g (f(a)) = g (f(b)) \end{align}$$

であり、 $g$ が1対1の写像であることから

$$\begin{align} f(a) = f(b) \end{align}$$

がわかり、さらに $f$ が1対1の写像であることから

$$\begin{align} a = b \end{align}$$

がわかる。

したがって $g \circ f$ は1対1の写像である。

(b)

$g$ が上への写像であることから、任意の $c \in C$ に対して

$$\begin{align} g(b) = c \end{align}$$

であるような $b \in B$ が存在する。

さらに、 $f$ が上への写像であることから、この $b \in B$ に対して

$$\begin{align} f(a) = b \end{align}$$

であるような $a \in A$ が存在する。 したがって、任意の $c \in C$ に対して

$$\begin{align} (g \circ f) (a) = c \end{align}$$

であるような $a \in A$ が存在するので、 $g \circ f$ は上への写像である。