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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2023年8月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description​

(1) Fig.2(a) の回路において, 交流電流源の電流は JJ[A], 端子 a-b 間の電圧は VV[V], インダクタンスは Z1=2 Ω,Z2=j2 ΩZ_1 = 2\ \Omega,Z_2 = j2\ \Omega である。電流 JJ は, 並列回路により電流 I1,I2I_1,I_2[A] に分流される。電流 JJ の実効値は 22 A である。電流 JJ をフェーザの基準とする。I1,I2I_1,I_2 の フェーザ図を示せ。また、電圧 VV の実効値と位相を求めよ。ただし、jj は虚数単位である。

(2) Fig.2(b) の回路において, 交流電流源の電流は JJ[A], 端子 a-b 間の電圧は VV[V], 抵抗は R[Ω]R[\Omega], インダクタンスは LL[H], キャパシタンスは CC[F], 交流電流源の角周波数は ω\omega [rad/s] である。以下の問に答えよ。

  • (a) 端子 a-b 間を短絡すると, 電圧 VV の位相が電流 JJ の位相より π/4\pi/4 rad 進む。ω\omega を R,L,CR,L,C を用いて表せ。ただし, ω>0\omega > 0 である。

  • (b) 端子 c-d 間に抵抗 RS[Ω]R_S[\Omega] の抵抗器をつなぐと, 電圧 VV と電流 JJ の位相差が 00 になる。RSR_S を ω,L,C\omega,L,C を用いて表せ。ただし, 0<ω<1/LC0 < \omega < 1/\sqrt{LC} である。

(3) Fig.2(c) の回路において, 交流電流源の電流は JJ[A], 端子 a-b 間の電圧は VV[V], 抵抗は R[Ω]R[\Omega], 自己インダクタンスは L1,L2L_1,L_2[H], 相互インダクタンスは MM[H], キャパシタンスは CC[F], 交流電流源の角周波数は ω\omega [rad/s] である。電流 JJ は, 並列回路により電流 I1,I2,I3I_1,I_2,I_3[A] に分流される。 I2=2I1(≠0 A)I_2 = 2I_1 (\neq 0 \ \text{A}), 0<M<2L2−L10 < M < 2L_2 - L_1 のとき, 以下の問に答えよ。

  • (a) ω\omega を R,L1,L2,M,CR,L_1,L_2,M,C のうち必要な変数を用いて表せ。ただし、ω>0\omega > 0 である。

  • (b) 回路の合成アドミタンス Y(=J/V)Y(=J/V)[S] を R,L1,L2,M,ωR,L_1,L_2,M,\omega を用いて表せ。

题目描述​

  1. 图 2(a) 中，交流电流源相量为 JJ，端口 a–b 电压为 VV，两并联支路阻抗为 Z1=2 Ω,Z2=j2 Ω.Z_1=2\,\Omega,\qquad Z_2=j2\,\Omega. JJ 分为 I1,I2I_1,I_2，且 ∣J∣=2 A|J|=2\,\mathrm A。以 JJ 为相位基准，画出 I1,I2I_1,I_2 的相量图，并求 VV 的有效值和相位。
  2. 对图 2(b) 中含 R,L,CR,L,C 的网络，电流源角频率为 ω\omega。
    1. 将 a–b 短路时，电压 VV 比电流 JJ 超前 π/4\pi/4；用 R,L,CR,L,C 表示正角频率 ω\omega；
    2. 在 c–d 接入电阻 RSR_S 后，V,JV,J 同相。已知 0<ω<1/LC0<\omega<1/\sqrt{LC}，用 ω,L,C\omega,L,C 表示 RSR_S。
  3. 图 2(c) 中含电阻 RR、耦合电感 L1,L2,ML_1,L_2,M 和电容 CC。源电流 JJ 分为 I1,I2,I3I_1,I_2,I_3，且 I2=2I1≠0,0<M<2L2−L1.I_2=2I_1\ne0,\qquad0<M<2L_2-L_1.
    1. 用必要的 R,L1,L2,M,CR,L_1,L_2,M,C 表示正角频率 ω\omega；
    2. 用 R,L1,L2,M,ωR,L_1,L_2,M,\omega 表示总导纳 Y=J/VY=J/V。

考点​

  • 交流分流与相量图：由并联阻抗计算各支路电流及端电压。
  • 导纳相位条件：将指定电压电流相位差转化为导纳实虚部关系。
  • 功率因数校正：选择并联或串联电阻使总导纳为实数。
  • 耦合电感网络：用阻抗矩阵或 T 形等效结合支路电流比求频率和导纳。

Kai​

(1)​

I1=J⋅Z2Z1+Z2=2⋅2j2+2j=1+jI2=J⋅Z1Z1+Z2=2⋅22+2j=1−j\begin{aligned} I_1 &= J \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = 2 \cdot \frac{2j}{2 + 2j} = 1 + j \\ I_2 &= J \cdot \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} = 2 \cdot \frac{2}{2 + 2j} = 1 - j \end{aligned}
V=Z1⋅I1=2+2jV = Z_1 \cdot I_1 = 2 + 2j

转成时效值向量的幅度和相位的写法：

I1=2∠π4I2=2∠−π4V=22∠π4\begin{aligned} I_1 &= \sqrt{2}\angle\frac{\pi}{4} \\ I_2 &= \sqrt{2}\angle -\frac{\pi}{4} \\ V &= 2\sqrt{2}\angle\frac{\pi}{4} \end{aligned}

(2)​

(a)​

J=V⋅(1R+jωC+1jωL)J = V \cdot \bigg(\frac{1}{R}+ j\omega C + \frac{1}{j\omega L}\bigg)
arg⁡(1V)=π4=arctan⁡(ωRC−RωL)=arctan⁡(1)\arg(\frac{1}{V}) = \frac{\pi}{4} = \arctan\bigg(\omega RC - \frac{R}{\omega L}\bigg) = \arctan(1)

只取正根

ω=1+1+4R2CL2RC=12RC+14R2C2+1LC\omega = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\frac{R^2C}{L}}}{2RC} = \frac{1}{2RC} + \sqrt{\frac{1}{4R^2C^2} + \frac{1}{LC}}

(b)​

J=V⋅(1R+jωC+1jωL+RS)J = V \cdot \bigg(\frac{1}{R} + j\omega C + \frac{1}{j\omega L + R_S}\bigg)
JV=RSR+jωLR+jωRSC−ω2LC+1jωL+RS\frac{J}{V} = \frac{\frac{R_S}{R} + \frac{j\omega L}{R} + j\omega R_SC - \omega^2 LC + 1}{j\omega L + R_S}

分子分母的实部虚部对应成比例：

RSR−ω2LC+1RS=1R−ω2LCRS+1RS=ωLR+ωRSCωL=1R+RSCL\frac{\frac{R_S}{R} - \omega^2LC + 1}{R_S} = \frac{1}{R} - \frac{\omega^2LC}{R_S} + \frac{1}{R_S} = \frac{\frac{\omega L}{R} + \omega R_SC}{\omega L} = \frac{1}{R} + \frac{R_SC}{L}
RS=LC−ω2L2R_S = \sqrt{\frac{L}{C} - \omega^2L^2}

这个题似乎用分母实数化的一般做法更简单，化成单项式的好处是更容易得到一个与频率无关的导纳（并不需要代入所求的关系式）：

Y=1R+RSCLY = \frac{1}{R} + \frac{R_SC}{L}

(3)​

(a)​

Z矩阵式容易的到：

Z=[jωL1jωMjωMjωL2+1jωC]Z = \begin{bmatrix} j\omega L_1 & j\omega M\\ j\omega M & j\omega L_2 + \frac{1}{j\omega C} \end{bmatrix}

由并联电压相等有：

V2V1=1=jωL1I1+jωM⋅I2jωMI1+(jωL2+1jωC)⋅I2=jωL1+jωM⋅ϕjωM+(jωL2+1jωC)⋅ϕ\frac{V_2}{V_1} = 1 = \frac{j\omega L_1I_1 + j\omega M \cdot I_2}{j\omega MI_1 + (j\omega L_2 + \frac{1}{j\omega C}) \cdot I_2} = \frac{j\omega L_1 + j\omega M \cdot \phi}{j\omega M + (j\omega L_2 + \frac{1}{j\omega C}) \cdot \phi}

代入：

ϕ=I2I1=2\phi = \frac{I_2}{I_1} = 2
jωL1+jωM⋅2=jωM+(jωL2+1jωC)⋅2j\omega L_1 + j\omega M \cdot 2 = j\omega M + (j\omega L_2 + \frac{1}{j\omega C}) \cdot 2
jω⋅2L2−L1−M2=j⋅1ωCj\omega \cdot \frac{2L_2 - L_1 - M}{2} = j \cdot \frac{1}{\omega C}
ω=2(2L2−L1−M)⋅C\omega = \sqrt{\frac{2}{(2L_2 - L_1 - M)\cdot C}}

这个题用T型等效更快捷（只把两个电感T等效，再去整理四个端口对外的连接），但是要注意怎么处理T的方向（此时把上面当作T的公共端，下面当作T的顶端，注意分流体现再两个底端）

(b)​

如果T等效出发：

Y=1R+1jωM+[jω(L2−M)+1jωC]⋅jω(L1−M)jω(L1+L2−2M)+1jωC=1R+jω(L1+L2−2M)+1jωCω2(M2−L1L2)+L1/CY = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega M + \frac{[j\omega(L_2 - M) + \frac{1}{j\omega C}] \cdot j\omega (L_1 - M)}{j\omega(L_1 + L_2 - 2M) + \frac{1}{j\omega C}}} = \frac{1}{R} + \frac{j\omega (L_1 + L_2 - 2M) + \frac{1}{j\omega C}}{\omega^2(M^2 - L_1L_2) + L_1/C}
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