東北大学 工学研究科 電気・情報系 2023年8月実施 基礎科目 問題1 電磁気学

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Miyake

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Fig.1 に示すように、真空中に半径 の完全導体球 と、内、外半径がそれぞれ の完全導体球殻 からなる同心球コンデンサがある. 同心球コンデンサ内部 (1-2 間) は真空となっている。 導体球 , 導体球殻 にそれぞれ電荷 および を与えたとき、以下の問に答えよ、ただし、導体球 と導体球殻 の中心 を原点とする径方向の座標を 、真空中の誘電率を もとする。 また、無限遠の電位を基準としたときの (無限遠では電位は ) 導体球 の表面の電位を 、 導体球殻 の外表面の電位を とする。

(1) のそれぞれの領域における電界の大きさ を、ガウスの法則を用いて求めよ。

(2) 電位 および を求めよ。

(3) 導体球殻 のみを接地したとき の電位 を導出し、同心球コンデンサの静電容量 を求めよ。

(4) 一方で、導体球 のみを接地したとき の電位 を, を用いて表せ。また、同心球コンデンサの静電容量 を求めよ。

Kai

(1)

では、導体の内部であるから、

である。 では、ガウスの法則より、

である。 では、導体の内部であるから、

である。 では、ガウスの法則より、

である。

(2)

(3)

であるから、導体球殻2の内側に の電荷が分布する。 における に変化はないから、

であり、

である。

(4)

導体球殻2の電荷 のうち、内側に 、外側に が分布したとする。 導体球殻2の内部で電場はないから、導体球1の外側に の電荷が分布する。 このとき、 (1), (2) と同じように考えて、

がわかる。 よって、 から、

がわかり、

がわかる。