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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2023年2・3月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description​

交流電源の電圧 VV の実効値は 100100 [V] で, 角周波数は ω\omega [rad/s] である。電源の内部抵抗は無視する。交流電源と, 回路素子として, 抵抗が R[Ω]R[\Omega] の抵抗器, インダクタンスが LL[H] のコイル, 容量が CC [F] のコンデンサを用いた回路の設計について, 以下の問に答えよ。

(1) 交流電源, 抵抗器, コイル, コンデンサを 11 個ずつ用いて回路を設計することを考える。ある特定の角周波数 ω0\omega_0 において, R,L,CR,L,C の値を調整することで, 全ての回路素子に流れる電流の実効値は 44 A, 位相は電源電圧と同相になる。R,L,C,ω0R,L,C,\omega_0 が満たすべき条件を説明せよ。

(2) 11 個の交流電源と, 33 個の回路素子を用いて回路を設計することを考える。電源から流れる出る電流 II [A] は, 並列接続により電流 I1I_1 [A] と I2I_2 [A] に分流され, I1,I2I_1,I_2 の実効値はそれぞれ 44 A , 222\sqrt{2} [A] である。電源電圧 VV を基準として, 電流 I1,I2I_1,I_2 の位相進みはそれぞれ 00 , π/4\pi/4 rad である。回路素子は, 抵抗器, コイル, コンデンサの中から必要なものを選択することとし, それぞれを複数個用いてもよい。

  • (a) 電流 I,I1,I2I,I_1,I_2 のフェーザの基準とする。

  • (b) この条件を満たす回路図を描け。ならびに, 用いて回路素子のインピーダンスの値を回路図に明記せよ。

题目描述​

电源有效值为 V=100 VV=100\,\mathrm V、角频率为 ω\omega，忽略内阻。可使用阻值 RR、电感 LL、电容 CC 的元件设计交流电路。

  1. 用一个电源以及电阻、电感、电容各一个设计电路。在特定角频率 ω0\omega_0 下，通过选择 R,L,CR,L,C，使每个元件电流有效值均为 4 A4\,\mathrm A，且与电源电压同相。说明电路连接方式以及 R,L,C,ω0R,L,C,\omega_0 必须满足的条件。
  2. 用一个电源和三个可从电阻、电感、电容中重复选取的元件设计并联网络。源电流 II 分成 I1,I2I_1,I_2，其有效值分别为 4 A4\,\mathrm A、22 A2\sqrt2\,\mathrm A；以电压 VV 为相位基准，I1,I2I_1,I_2 的超前相位分别为 00、π/4\pi/4。
    1. 画出 I,I1,I2I,I_1,I_2 的相量图；
    2. 画出满足条件的电路，并在图中标明各元件阻抗值。

考点​

  • 交流网络设计：根据支路电流幅值与相位选择串、并联结构。
  • 谐振条件：使电感、电容无功电流抵消并保持源电流同相。
  • 相量合成：以电压为参考将各支路电流作向量相加。
  • 阻抗反求：由 Z=V/IZ=V/I 的幅相关系确定电阻、电感或电容值。

Kai​

(1)​

RLCRLC 串联

I=VR+jωL+1jωC=VR=4I = \frac{V}{R + j\omega L + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{V}{R} = 4
R=25ΩR = 25 \Omega
ω0=1LC\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

(2)​

(a)​

I1=4I_1 = 4
I2=22⋅ejπ4=22⋅22⋅(1+j)=2+2jI_2 = 2\sqrt{2} \cdot e^{j \frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (1 + j) = 2 + 2j
I=I1+I2=6+2jI = I_1 + I_2 = 6 + 2j

(b)​

Z=VI=1006+2j=503+j=50⋅(3−j)10=15−5jZ = \frac{V}{I} = \frac{100}{6 + 2j} = \frac{50}{3 + j} = \frac{50 \cdot (3 - j)}{10} = 15 - 5j

考虑两个支路是三个阻抗构成：

Z=Z1⋅(Z2+Z3)Z1+Z2+Z3=15−5jZ = \frac{Z_1 \cdot (Z_2 + Z_3)}{Z_1 + Z_2 + Z_3} = 15 - 5j
Z1⋅I1=4Z1=(Z2+Z3)⋅I2=(2+2j)⋅(Z2+Z3)Z_1 \cdot I_1 = 4Z_1 = (Z_2 + Z_3) \cdot I_2 = (2 + 2j) \cdot (Z_2 + Z_3)
Z2+Z3=42+2jZ1=Z1⋅4⋅(2−2j)8=(1−j)Z1Z_2 + Z_3 = \frac{4}{2 + 2j}Z_1 = Z_1 \cdot \frac{4 \cdot (2 - 2j)}{8} = (1 - j)Z_1
Z=Z12(1−j)(2−j)Z1=15−5jZ = \frac{Z_1^2(1 - j)}{(2 - j)Z_1} = 15 - 5j
Z1=5⋅(3−j)⋅(2−j)1−j=52⋅(5−5j)⋅(1+j)=25Z_1 = \frac{5 \cdot (3 - j) \cdot (2 - j)}{1 - j} = \frac{5}{2} \cdot (5 - 5j) \cdot (1 + j) = 25
Z2+Z3=(1−j)Z1=25−25jZ_2 + Z_3 = (1 - j)Z_1 = 25 - 25j

两个电阻一个电感，其中一个支路是纯电阻，一个支路是电感和电阻的串联。

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