東北大学 工学研究科 電気・情報系 2022年3月実施 基礎科目 問題6 数学基礎

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

(a)

の固有値を とすると、

である。

固有値 に対応する固有ベクトルを求めるために、

とおくと、 であるから、固有ベクトルは例えば、

である。

同様にして、固有値 に対応する固有ベクトルは、それぞれ、例えば、

である。

(b)

(a) で求めたように、 の固有多項式は であるから、 ケーリー-ハミルトンの定理より、

が成り立つ。 つまり、

である。

((c))

(2)

(a)

とると、 より のとき であるから、 次のように計算できる：

(b)

まず、

である。

よって、与えられた差分方程式をラプラス変換すると、(a)で得た式を使って、

さらに、 で であることを使って整理すると、

なので、

を得る。