東北大学 工学研究科 電気・情報系 2022年2・3月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description

Fig.2 に示す回路について、以下の問に答えよ。交流電源の電圧は $E$ [V] , 電源の角周波数は $\omega$ [rad/s] , 抵抗は $R_1,R_2 [\Omega]$ , 自己インダクタンスは $L_1,L_2$ [H] , 相互インダクタンスは $M$ [H] , インピーダンスの素子は $Z \ [\Omega]$ である。また、端子 c-d 間の電圧は $V_2$ [V] であり、 $1$ 次回路側, $2$ 次回路側を流れる電流をそれぞれ $I_1,I_2$ [A] とする。

(1) $T$ 形等価回路を示せ。

(2) $2$ 次回路側の端子 c-d 間の短絡したとき、電流 $I_1$ に対する電流 $I_2$ 電流比 $|I_2|/|I_1|$ を $\omega,L_2,M,R_2$ で表わせ。また、$\omega = 0$ [rad/s] のときの $|I_2|/|I_1|$ の値を求めよ。

(3) $2$ 次回路側の端子 c-d 間について、$Z$ を取り除いて開放したとき、電源電圧 $E$ に対する開放電圧 $V_2$ の電圧比 $|V_2|/|E|$ を求めよ。ただし、$R_1 = 10 \ [\Omega]$, $R_2 = 5\ [\Omega]$, $L_1 = 10 \ [\text{mH}]$, $L_2 = 5 \ [\text{mH}]$, $M = 5\ [\text{mH}]$, $\omega = 1000\ [\text{rad/s}]$ である。

(4) 端子 a-b 間から見た入力インピーダンス $Z_{ab} = E/I_1$ を $\omega,L_1,L_2,M,R_1,R_2,Z$ で表わせ。

(5) $2$ 次回路側の $Z$ が理想的なキャパシタ $C$ [F] であり, $1$ 次回路側の交流電源の角周波数が $\omega_0 - 1\sqrt{L_2C}$ [rad/s] であるとき、 $Z_{ab}$ を $\omega_0,L_1,M,R_1,R_2$ で表わせ。ならびに、$I_1$ と $I_2$ の位相差が $\pi/2$ [rad/s] であることを導け。

题目描述

图 2 为两个具有互感的线圈电路。电源电压和角频率为 $E,\omega$，一次、二次侧电阻为 $R_1,R_2$，自感为 $L_1,L_2$，互感为 $M$，二次侧负载为 $Z$；电流分别为 $I_1,I_2$，端口 c–d 电压为 $V_2$。

1. 画出该耦合电路的 T 形等效电路。
2. 将二次侧 c–d 短路，用 $\omega,L_2,M,R_2$ 表示电流幅值比 $|I_2|/|I_1|$，并求 $\omega=0$ 时的值。
3. 移除 $Z$ 并将 c–d 开路。当
   L_2=M=5\,\mathrm{mH},\ \omega=1000\,\mathrm{rad/s}$$ 时，求开路电压比 $|V_2|/|E|$。
4. 用 $\omega,L_1,L_2,M,R_1,R_2,Z$ 表示从 a–b 看入的阻抗 $Z_{ab}=E/I_1.$
5. 当负载为理想电容 $C$，且 $\omega_0=\frac1{\sqrt{L_2C}},$ 用 $\omega_0,L_1,M,R_1,R_2$ 表示 $Z_{ab}$，并证明 $I_1,I_2$ 的相位差为 $\pi/2$。

考点

• 互感线圈等效电路：把耦合电感转换为 T 形网络。
• 短路与开路特性：分别求电流传输比和开路电压比。
• 反射阻抗：推导二次负载通过互感反映到一次侧的输入阻抗。
• LC 谐振：在二次侧电抗抵消时化简阻抗并判断电流相位。

Kai

(1)

略

(2)

并联分流：

$$I_2 = -I_1 \cdot \frac{j\omega M}{j\omega L_2 + R_2}$$

$$\frac{|I_2|}{|I_1|} = \bigg|\frac{j\omega M}{R_2 + j\omega L_2}\bigg| = \frac{\omega M}{\sqrt{R_2^2 + \omega^2L_2^2}}$$

$$\omega = 0: \frac{|I_2|}{|I_1|} = 0$$

(3)

$$V_2 = E \cdot \frac{j\omega M}{R_1 + j\omega L_1}$$

$$\frac{|V_2|}{|E|} = \frac{\omega M}{\sqrt{R_1^2 + \omega^2L_1^2}} = \frac{5}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

(4)

$$\begin{aligned} Z_{ab} &= R_1 + j\omega(L_1 - M) + \frac{j\omega M [j\omega(L_2 - M) + R_2 + Z]}{j\omega L_2 + R_2 + Z} \\ &= R_1 + j\omega L_1 + \frac{\omega^2 M^2}{j\omega L_2 + R_2 + Z} \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} Z_{ab} &= R_1 + j\omega L_1 + \frac{\omega^2M^2}{j\omega L_2 + R_2 + \frac{1}{j\omega C}} \\ &= \frac{\omega^2(M^2 - L_1L_2) + R_1R_2 + \frac{L_1}{C} + j\omega(R_1L_2 + R_2L_1) + \frac{R_1}{j\omega C}}{j\omega L_2 + R_2 + \frac{1}{j\omega C}} \end{aligned}$$

代入：$\omega = \frac{1}{\sqrt{L_2C}}$

$$Z_{ab} = \frac{\omega^2(M^2 - L_1L_2) + R_1R_2 + \frac{L_1}{C} + j\omega R_2L_1}{R_2}$$

$$I_2 = -I_1 \cdot \frac{j\omega M}{j\omega L_2 + R_2 + \frac{1}{j\omega C}} = -j\frac{\omega M}{R_2} \cdot I_1$$

$$\arg3({\frac{I_2}{I_1}}) = \arg(-j) = -\frac{\pi}{2}$$

得证