東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題6 数学基礎

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Miyake

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題意の要約

大学公開の原題、13 ページ

1. 行列 $A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&2&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}$ について、(a) 固有値と固有ベクトルを求める。(b) $P^{-1}AP$ が対角行列となる正則行列 $P$ を選び、その対角行列および $n$ 乗を計算する。(c) 自然数 $n$ に対して $A^n$ を求める。
2. $f(x)=x$（$0\le x\le2\pi$）を、$0<x<2\pi$ で $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ と展開する。係数は $a_n=\pi^{-1}\int_0^{2\pi}x\cos nx\,dx$、$b_n=\pi^{-1}\int_0^{2\pi}x\sin nx\,dx$ で定める。(a) $a_0$、(b) $n\ge1$ の $a_n,b_n$ を計算し、(c) $\sum_{n\ge1}\sin(nx)/n=(\pi-x)/2$ を導く。

题目描述

1. 给定矩阵 $A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&2&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}.$ 求全部特征值和特征向量；选取可逆矩阵 $P$ 将 $A$ 对角化，求对角矩阵的 $n$ 次幂，并由此求自然数 $n$ 对应的 $A^n$。
2. 将 $f(x)=x$ 在 $0<x<2\pi$ 上展开为 Fourier 级数 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx).$ 用 $a_n=\pi^{-1}\int_0^{2\pi}x\cos nx\,dx$、$b_n=\pi^{-1}\int_0^{2\pi}x\sin nx\,dx$ 分别计算 $a_0$ 及 $n\ge1$ 时的系数，并推出 $\sum_{n\ge1}\sin(nx)/n=(\pi-x)/2$。

Kai

(1)

(a)

$$\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1).$$

可取三组特征值及特征向量为

$$\boxed{\lambda=-1:\ (-1,0,1)^T,\qquad \lambda=0:\ (1,1,1)^T,\qquad \lambda=1:\ (1,2,1)^T}.$$

各特征空间均为一维，其全部特征向量为所列向量的非零倍数。

(b)

$$P=\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad \boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,0,1)}.$$

$n\ge1$ 时，$\boxed{(P^{-1}AP)^n=\operatorname{diag}((-1)^n,0,1)}$；$n=0$ 时结果为单位矩阵。

(c)

令 $\epsilon=(-1)^n$。由 $A^n=P\operatorname{diag}(\epsilon,0,1)P^{-1}$，或利用 $A^3=A$，得 $n\ge1$ 时

$$\boxed{A^n=\frac{A^2+A}{2}+\frac{\epsilon(A^2-A)}2 =\begin{pmatrix} (\epsilon-1)/2&1&-(1+\epsilon)/2\\ -1&2&-1\\ -(1+\epsilon)/2&1&(\epsilon-1)/2 \end{pmatrix}}.$$

$n=0$ 时 $A^0=I$。

(2)

(a)

$$\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 2 \pi \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos nx dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x \sin nx \right]_0^{2 \pi} - \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \sin nx dx \\ &= 0 \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin nx dx \\ &= - \frac{1}{n \pi} \left[ x \cos nx \right]_0^{2 \pi} + \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \cos nx dx \\ &= - \frac{2}{n} \end{aligned}$$

(c)

(a), (b) より、 $0 \lt x \lt 2 \pi$ のとき、

$$\begin{aligned} x &= \pi + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{2}{n} \right) \sin nx \\ &= \pi - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2} \end{aligned}$$

が成り立つことがわかる。