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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題6 数学基礎

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原文的题目描述及解答均缺失，当前文件无法还原具体题目。

考点​

  • 资料缺失：现有文件未保留可用于判断本题知识点的题干、公式或解答。

Kai​

(1)​

(2)​

(a)​

a0=1π∫02πxdx=1π[x22]02π=2π\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 2 \pi \end{aligned}

(b)​

an=1π∫02πxcos⁡nxdx=1nπ[xsin⁡nx]02π−1nπ∫02πsin⁡nxdx=0bn=1π∫02πxsin⁡nxdx=−1nπ[xcos⁡nx]02π+1nπ∫02πcos⁡nxdx=−2n\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos nx dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x \sin nx \right]_0^{2 \pi} - \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \sin nx dx \\ &= 0 \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin nx dx \\ &= - \frac{1}{n \pi} \left[ x \cos nx \right]_0^{2 \pi} + \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \cos nx dx \\ &= - \frac{2}{n} \end{aligned}

(c)​

(a), (b) より、 0<x<2π0 \lt x \lt 2 \pi のとき、

x=π+∑n=1∞(−2n)sin⁡nx=π−2∑n=1∞sin⁡nxn\begin{aligned} x &= \pi + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{2}{n} \right) \sin nx \\ &= \pi - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} \end{aligned}

したがって、

∑n=1∞sin⁡nxn=π−x2\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2} \end{aligned}

が成り立つことがわかる。

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