跳到主要内容

東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題6 数学基礎

标签：

Author​

Miyake

Description​

(1)​

行列

A=(−110−12−101−1)A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&2&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}

について考える．以下の問に答えよ．

(a) AA のすべての固有値と，それに対応する固有ベクトルを求めよ．

(b) P−1APP^{-1}AP が対角行列になるような正則行列 PP を用いて，P−1APP^{-1}AP および (P−1AP)n(P^{-1}AP)^n を求めよ．ここで，nn は自然数である．

(c) AnA^n を求めよ．

(2)​

0≤x≤2π0\le x\le2\pi で定義される関数 f(x)=xf(x)=x に対し，フーリエ級数展開

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)(0<x<2π)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad(0<x<2\pi)

を考える．ここで，ana_n および bnb_n は

an=1π∫02πf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫02πf(x)sin⁡nx dxa_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx

で与えられる．以下の問に答えよ．

(a) a0a_0 を求めよ．

(b) n≥1n\ge1 に対して，ana_n および bnb_n を求めよ．

(c) 問(a)および問(b)の結果を利用して，次式，

∑n=1∞sin⁡nxn=π−x2(0<x<2π)\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}\quad(0<x<2\pi)

を導け．

题目描述​

(1) 考虑矩阵

A=(−110−12−101−1).A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&2&-1\\0&1&-1\end{pmatrix}.

回答下列问题。

(a) 求 AA 的所有特征值及对应的特征向量。

(b) 利用使 P−1APP^{-1}AP 为对角矩阵的可逆矩阵 PP，求 P−1APP^{-1}AP 和 (P−1AP)n(P^{-1}AP)^n。其中 nn 为自然数。

(c) 求 AnA^n。

(2) 对定义在 0≤x≤2π0\le x\le2\pi 上的函数 f(x)=xf(x)=x，考虑傅里叶级数展开

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)(0<x<2π),f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad(0<x<2\pi),

其中系数由下式给出：

an=1π∫02πf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫02πf(x)sin⁡nx dx.a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\,dx.

回答下列问题。

(a) 求 a0a_0。

(b) 当 n≥1n\ge1 时，求 ana_n 和 bnb_n。

(c) 利用(a)、(b)的结果，导出

∑n=1∞sin⁡nxn=π−x2(0<x<2π).\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}\quad(0<x<2\pi).

Kai​

(1)​

(a)​

det⁡(λI−A)=λ(λ−1)(λ+1).\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1).

可取三组特征值及特征向量为

λ=−1: (−1,0,1)T,λ=0: (1,1,1)T,λ=1: (1,2,1)T.\boxed{\begin{gathered}\lambda=-1:\ (-1,0,1)^T,\\ \lambda=0:\ (1,1,1)^T,\\ \lambda=1:\ (1,2,1)^T\end{gathered}}.

各特征空间均为一维，其全部特征向量为所列向量的非零倍数。

(b)​

P=(−111012111),P−1AP=diag⁡(−1,0,1).P=\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad \boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,0,1)}.

n≥1n\ge1 时，(P−1AP)n=diag⁡((−1)n,0,1)\boxed{(P^{-1}AP)^n=\operatorname{diag}((-1)^n,0,1)}；n=0n=0 时结果为单位矩阵。

(c)​

令 ϵ=(−1)n\epsilon=(-1)^n。由 An=Pdiag⁡(ϵ,0,1)P−1A^n=P\operatorname{diag}(\epsilon,0,1)P^{-1}，或利用 A3=AA^3=A，得 n≥1n\ge1 时

An=A2+A2+ϵ(A2−A)2=((ϵ−1)/21−(1+ϵ)/2−12−1−(1+ϵ)/21(ϵ−1)/2).\boxed{\begin{gathered}A^n=\frac{A^2+A}{2}+\frac{\epsilon(A^2-A)}2 \\ =\begin{pmatrix} (\epsilon-1)/2&1&-(1+\epsilon)/2\\ -1&2&-1\\ -(1+\epsilon)/2&1&(\epsilon-1)/2 \end{pmatrix}\end{gathered}}.

n=0n=0 时 A0=IA^0=I。

(2)​

(a)​

a0=1π∫02πxdx=1π[x22]02π=2π\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 2 \pi \end{aligned}

(b)​

an=1π∫02πxcos⁡nxdx=1nπ[xsin⁡nx]02π−1nπ∫02πsin⁡nxdx=0bn=1π∫02πxsin⁡nxdx=−1nπ[xcos⁡nx]02π+1nπ∫02πcos⁡nxdx=−2n\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos nx dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x \sin nx \right]_0^{2 \pi} - \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \sin nx dx \\ &= 0 \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin nx dx \\ &= - \frac{1}{n \pi} \left[ x \cos nx \right]_0^{2 \pi} + \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \cos nx dx \\ &= - \frac{2}{n} \end{aligned}

(c)​

(a), (b) より、 0<x<2π0 \lt x \lt 2 \pi のとき、

x=π+∑n=1∞(−2n)sin⁡nx=π−2∑n=1∞sin⁡nxn\begin{aligned} x &= \pi + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{2}{n} \right) \sin nx \\ &= \pi - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} \end{aligned}

したがって、

∑n=1∞sin⁡nxn=π−x2\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2} \end{aligned}

が成り立つことがわかる。

Reference​

本页目录