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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

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(1) Fig.2(a) に示す回路について、以下の問に答えよ。電源電圧の実効値は E=100E = 100 V, 電源の角周波数は ω=100π\omega = 100\pi rad/s, 回路に流れる電流は I=∣I∣ejθ(−π/2≦θ≦π/2)I = |I|e^{j\theta} (-\pi/2 \leqq \theta \leqq \pi/2) , インダクタンスは L=1/(10π)L = 1/(10\pi) H, 抵抗は R=8ΩR = 8\Omega , キャパシタンスは C=1/(200π)C = 1/(200\pi) F である。

  • (a) 電流 II について、∣I∣|I|, θ\theta を求めよ。

  • (b) 回路全体における有効電力 PeP_e と無効電力 PrP_r , ならびに力率 cos⁡θ\cos\theta を求めよ。

  • (c) 力率 cos⁡θ=1\cos\theta = 1 とするために、Fig.2(b) に示すように。Fig.2(a) の a-b 間にキャパシタ CSC_S を求めよ。

  • (d) 問(c) において、Fig.2(b) に示す回路全体の抵抗成分で消費される電力を求めよ。また、Fig.2(b) に示す回路に流れる電流を ISI_S とする。電圧 EE (基準として), ならびに問(a)で求めた電流 II と ISI_S のフェーザ図を描け。ただし、フェーザ図には、∣E∣,∣I∣,∣IS∣,θ|E|,|I|,|I_S|,\theta の値を明記し、電流 II と ISI_S の関係性が明確になるように記載すること。

(2) Fig.2(c) に示すブリッジ回路について、以下の問に答えよ。自己インダクタンスは L3=24μL_3 = 24 \mu H, L4=30μL_4 = 30\mu H, 抵抗は R1=R2=R3=R4=50Ω,R=100ΩR_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 50\Omega , R = 100 \Omega である。a-b 間の電位差がゼロであるとき、相互インダクタンス MM の値を求めよ。

题目描述​

  1. 对图 2(a) 电路，电源有效值 E=100 VE=100\,\mathrm V，角频率 ω=100π rad/s\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s}，电流相量为 I=∣I∣ejθI=|I|e^{j\theta}（−π/2≤θ≤π/2-\pi/2\le\theta\le\pi/2），且 L=110π H,R=8 Ω,C=1200π F.L=\frac1{10\pi}\,\mathrm H,\qquad R=8\,\Omega,\qquad C=\frac1{200\pi}\,\mathrm F.
    1. 求 ∣I∣|I| 与 θ\theta；
    2. 求全电路有功功率 PeP_e、无功功率 PrP_r 和功率因数 cos⁡θ\cos\theta；
    3. 如图 2(b)，在 a–b 间并联电容 CSC_S，使功率因数为 1，求 CSC_S；
    4. 求补偿后全电路电阻元件消耗的功率；设电源总电流为 ISI_S，以 EE 为基准画出 E,I,ISE,I,I_S 的相量图，并标明 ∣E∣,∣I∣,∣IS∣,θ|E|,|I|,|I_S|,\theta。
  2. 对图 2(c) 的互感电桥，给定 L3=24 μH,L4=30 μH,L_3=24\,\mu\mathrm H,\quad L_4=30\,\mu\mathrm H, R1=R2=R3=R4=50 Ω,R=100 Ω.R_1=R_2=R_3=R_4=50\,\Omega,\quad R=100\,\Omega. 当 a–b 间电势差为零时，求互感 MM。

考点​

  • 交流相量与复阻抗：计算 RLC 电路电流的幅值和相位。
  • 复功率与功率因数：区分有功、无功功率并由相位差求功率因数。
  • 并联电容功率因数校正：用导纳虚部抵消感性无功。
  • 互感电桥平衡：使用 T 形等效或桥臂阻抗比例求互感。

Kai​

(1)​

(a)​

I=VR+jωL+1/jωC=1008+10j−2j=252⋅1−j2I = \frac{V}{R + j\omega L + 1/j\omega C} = \frac{100}{8 + 10j - 2j} = \frac{25}{2} \cdot \frac{1 - j}{2}
∣I∣=2542|I| = \frac{25}{4}\sqrt{2}
θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4}

(b)​

ϕ=arg⁡(VI)=π4\phi = \arg(\frac{V}{I}) = \frac{\pi}{4}
Pe=VeIe⋅22=250042⋅22=625P_e = V_eI_e \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2500}{4}\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 625
Pr=VeIe⋅22=625P_r = V_eI_e \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 625
cos⁡ϕ=22\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}

(c)​

导纳为实数来推导：

Y=18+8j+jωC=8−8j128+jωCY = \frac{1}{8 + 8j} + j\omega C = \frac{8 - 8j}{128} + j\omega C
ωC=8128=116\omega C = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}
C=11600πC = \frac{1}{1600\pi}

(d)​

Y=116Y = \frac{1}{16}
IS=V⋅Y=254I_S = V \cdot Y = \frac{25}{4}

(2)​

用T型等效的电桥平衡：

R1⋅(R4+jω(L4−M))=R2⋅(R3+jω(L3+M))R_1 \cdot (R_4 + j\omega(L_4 - M)) = R_2 \cdot (R_3 + j\omega(L_3 + M))

代入化简条件：

L4−M=L3+ML_4 - M = L_3 + M
M=L4−L32=3μHM = \frac{L_4 - L_3}{2} = 3\mu H
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