東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description

(1) Fig.2(a) に示す回路について、以下の問に答えよ。電源電圧の実効値は $E = 100$ V, 電源の角周波数は $\omega = 100\pi$ rad/s, 回路に流れる電流は $I = |I|e^{j\theta} (-\pi/2 \leqq \theta \leqq \pi/2)$ , インダクタンスは $L = 1/(10\pi)$ H, 抵抗は $R = 8\Omega$ , キャパシタンスは $C = 1/(200\pi)$ F である。

• (a) 電流 $I$ について、$|I|$, $\theta$ を求めよ。

• (b) 回路全体における有効電力 $P_e$ と無効電力 $P_r$ , ならびに力率 $\cos\theta$ を求めよ。

• (c) 力率 $\cos\theta = 1$ とするために、Fig.2(b) に示すように。Fig.2(a) の a-b 間にキャパシタ $C_S$ を求めよ。

• (d) 問(c) において、Fig.2(b) に示す回路全体の抵抗成分で消費される電力を求めよ。また、Fig.2(b) に示す回路に流れる電流を $I_S$ とする。電圧 $E$ (基準として), ならびに問(a)で求めた電流 $I$ と $I_S$ のフェーザ図を描け。ただし、フェーザ図には、$|E|,|I|,|I_S|,\theta$ の値を明記し、電流 $I$ と $I_S$ の関係性が明確になるように記載すること。

(2) Fig.2(c) に示すブリッジ回路について、以下の問に答えよ。自己インダクタンスは $L_3 = 24 \mu$ H, $L_4 = 30\mu$ H, 抵抗は $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 50\Omega , R = 100 \Omega$ である。a-b 間の電位差がゼロであるとき、相互インダクタンス $M$ の値を求めよ。

题目描述

1. 对图 2(a) 电路，电源有效值 $E=100\,\mathrm V$，角频率 $\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s}$，电流相量为 $I=|I|e^{j\theta}$（$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$），且 $L=\frac1{10\pi}\,\mathrm H,\qquad R=8\,\Omega,\qquad C=\frac1{200\pi}\,\mathrm F.$
   1. 求 $|I|$ 与 $\theta$；
   2. 求全电路有功功率 $P_e$、无功功率 $P_r$ 和功率因数 $\cos\theta$；
   3. 如图 2(b)，在 a–b 间并联电容 $C_S$，使功率因数为 1，求 $C_S$；
   4. 求补偿后全电路电阻元件消耗的功率；设电源总电流为 $I_S$，以 $E$ 为基准画出 $E,I,I_S$ 的相量图，并标明 $|E|,|I|,|I_S|,\theta$。
2. 对图 2(c) 的互感电桥，给定 $L_3=24\,\mu\mathrm H,\quad L_4=30\,\mu\mathrm H,$ $R_1=R_2=R_3=R_4=50\,\Omega,\quad R=100\,\Omega.$ 当 a–b 间电势差为零时，求互感 $M$。

Kai

(1)

(a)

$$I = \frac{V}{R + j\omega L + 1/j\omega C} = \frac{100}{8 + 10j - 2j} = \frac{25}{2} \cdot \frac{1 - j}{2}$$

$$|I| = \frac{25}{4}\sqrt{2}$$

$$\theta = -\frac{\pi}{4}$$

(b)

$$\phi = \arg(\frac{V}{I}) = \frac{\pi}{4}$$

$$P_e = V_eI_e \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2500}{4}\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 625$$

$$P_r = V_eI_e \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 625$$

$$\cos\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(c)

导纳为实数来推导：

$$Y = \frac{1}{8 + 8j} + j\omega C_S = \frac{8 - 8j}{128} + j\omega C_S$$

$$\omega C_S = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$$

$$C_S = \frac{1}{1600\pi}\ \mathrm F$$

(d)

$$Y = \frac{1}{16}$$

$$I_S = V \cdot Y = \frac{25}{4}$$

并联的理想电容不消耗有功功率，也不改变原串联支路的电压，所以补偿后电阻耗能仍为 $\boxed{625\,\mathrm W}$。

以 $E=100\angle0^\circ\,\mathrm V$ 为基准，$I=6.25-j6.25\,\mathrm A$（$|I|=25\sqrt2/4\,\mathrm A,\theta=-\pi/4$），补偿电容电流为 $I_C=j6.25\,\mathrm A$，故 $I_S=I+I_C=6.25\angle0^\circ\,\mathrm A$。

(2)

用T型等效的电桥平衡：

$$R_1 \cdot (R_4 + j\omega(L_4 - M)) = R_2 \cdot (R_3 + j\omega(L_3 + M))$$

代入化简条件：

$$L_4 - M = L_3 + M$$

$$M = \frac{L_4 - L_3}{2} = 3\mu H$$