東北大学工学研究科電気・情報系 2021年2・3月実施基礎科目問題2 電気回路

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Fig.2 のようにインダクタ $L$ , 抵抗 $R$ , コンデンサ $C$ の直列回路がある。コンデンサ $C$ が充電され、その電圧は $E_0$ である。時刻 $t = 0$ でスイッチ $S$ を閉じた。 $t \geq 0$ の範囲で以下の問に答えよ。

(1) コンデンサ $C$ の電荷 $q(t)$ に関する回路の基本式を微分方程式として記述せよ。

(2) 問(1)の微分方程式で電荷の特解を $q_s(t) = e^{st}$ と仮定して $s$ に関する特性方程式を記述し、その根を求めよ。

(3) 問(2)の特性方程式で $R^2 = 4L/C$ の場合、時刻 $t$ における電荷の一般解 $q(t)$ は式(2A)のように導出できる。このとき電流 $i(t)$ を求め、電流波形の概形(極値を含む)を描け。

\begin{align} q(t) = CE_0e^{-\frac{R}{2L}t}(1 + \frac{Rt}{2L}) \tag{2A} \end{align}

(4) 問(3)の場合に、 $0 \leq t \leq \infty$ の間に抵抗 $R$ で消費されるエネルギーを求め、このエネルギーが時刻 $t = 0$ でコンデンサ $C$ に蓄えられていた静電エネルギーと等しいことを示せ。必要であれば式(2B)を使用せよ。

\begin{align} \int_0^{\infty}e^{-at}t^{n - 1}dt = \frac{(n - 1)!}{a^n} \tag{2B} \end{align}

ただし、 $a$ は実数、 $n$ は整数とする。

如图 2，电感 $L$ 、电阻 $R$ 、电容 $C$ 串联。电容预先充电至电压 $E_0$ ，在 $t=0$ 闭合开关 $S$ 。对 $t\ge0$ 回答：

以电容电荷 $q(t)$ 为变量，写出电路微分方程及初始条件。
令特解 $q_s(t)=e^{st}$ ，写出关于 $s$ 的特征方程并求根。
当 $R^2=4L/C$ （临界阻尼）时，已知
$q(t)=CE_0e^{-\frac{R}{2L}t}\left(1+\frac{Rt}{2L}\right).$
求电流 $i(t)$ ，并画出含极值位置的波形概图。
求 $0\le t<\infty$ 内电阻消耗的能量，并证明它等于 $t=0$ 时电容储存的静电能。必要时可用
$\int_0^\infty e^{-at}t^{n-1}\,dt=\frac{(n-1)!}{a^n}.$

图示电流从电容正极板流出，因此 $i=-q'$ 。由 Kirchhoff 电压定律，

\boxed{Lq''+Rq'+\frac qC=0,\qquad q(0)=CE_0,\quad q'(0)=0}.

代入 $q_s=e^{st}$ ，得到

\boxed{Ls^2+Rs+\frac1C=0,\qquad s_\pm=\frac{-R\pm\sqrt{R^2-4L/C}}{2L}}.

令 $\alpha=R/(2L)>0$ 。对给定电荷求导，并利用 $R^2=4L/C$ ：

\boxed{i(t)=-q'(t)=CE_0\alpha^2te^{-\alpha t}=\frac{E_0}{L}te^{-\alpha t}}.

i'(t)=\frac{E_0}{L}e^{-\alpha t}(1-\alpha t).

电流从零增大，在

\boxed{t_{\max}=\frac{2L}{R},\qquad i_{\max}=\frac{2E_0}{eR}}

处达到唯一最大值，再单调衰减至零。

临界阻尼放电电流

电阻耗能为

\begin{aligned} W&=R\int_0^\infty i(t)^2\,dt =\frac{RE_0^2}{L^2}\int_0^\infty t^2e^{-(R/L)t}\,dt\\ &=\frac{RE_0^2}{L^2}\frac{2}{(R/L)^3} =\frac{2LE_0^2}{R^2} =\boxed{\frac12CE_0^2}. \end{aligned}

这等于电容的初始储能；最后电容电压和电感电流均趋于零。