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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2020年2・3月実施 基礎科目 問題2 電気回路

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蛋黄猫物理 (xhs: 94162357270)

Description​

(1) Fig.2(a) に示す回路について以下の問に答えよ。 EE はフェーザ電圧である。また、分布定数線路は無損失であるとし、その分布定数線路の長さ、特性インピーダンス、位相定数をそれぞれ l,Z0,βl,Z_0,\beta である。

  • (a) 端子対(2-2') での反射係数を Z0,ZZ_0,Z を用いて表せ。

  • (b) Z=aZ0Z = aZ_0 のとき。端子対(1-1')から見たインピーダンス ZinZ_{in} を求めよ。ここで、a,Z0a,Z_0 は正の実数とし、a≠1a \neq 1 とする。さらに、ZinZ_{in} が実数となる ll を求めよ。

  • (c) R0=10Ω,Z0=50Ω,Z=50ΩR_0 = 10 \Omega,Z_0 = 50 \Omega,Z = 50 \Omega とする。ZZ における消費電力が 0.50.5 W であるとき、∣E∣|E| の値を求めよ。

(2) Fig.2(b) に示す回路について以下の問に答えよ。電圧源 e(t)e(t) は

e(t)={0(t<0)E0(0≤t<t1)0(t1≤t)e(t) = \left \{ \begin{aligned} &0 (t < 0) \\ &E_0 (0 \leq t < t_1) \\ &0 (t_1 \leq t) \end{aligned} \right.

で与えられる。ここで、E0E_0 は正の実数である。t<0t < 0 において回路を流れる電流を 00 とする。

  • (a) 0≤t<t10 \leq t < t_1 における電圧 vL(t)v_L(t) を求めよ。

  • (b) t≥t1t \geq t_1 における vL(t)v_L(t) を求めよ。

  • (c) t1=10L/Rt_1 = 10L/R のとき、0<t<2t10 < t <2t_1 における vL(t)v_L(t) の概形を描け。

题目描述​

  1. 对图 2(a) 的正弦稳态电路，电压源相量为 EE；无损传输线长度、特性阻抗和相位常数分别为 l,Z0,βl,Z_0,\beta，终端负载为 ZZ。
    1. 用 Z0,ZZ_0,Z 表示端口 (2–2′) 的反射系数；
    2. 当 Z=aZ0Z=aZ_0，其中 a,Z0>0a,Z_0>0 且 a≠1a\ne1，求从端口 (1–1′) 看入的输入阻抗 ZinZ_{\mathrm{in}}，并求使其为实数的线长 ll；
    3. 取 R0=10 ΩR_0=10\,\Omega、Z0=50 ΩZ_0=50\,\Omega、Z=50 ΩZ=50\,\Omega。若负载消耗功率为 0.5 W0.5\,\mathrm W，求 ∣E∣|E|。
  2. 图 2(b) 的串联 RLRL 电路由矩形脉冲电压驱动：
    e(t)={0,t<0,E0,0≤t<t1,0,t≥t1,e(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ E_0,&0\le t<t_1,\\ 0,&t\ge t_1, \end{cases}
    且 t<0t<0 时电流为零。
    1. 求 0≤t<t10\le t<t_1 时的电感电压 vL(t)v_L(t)；
    2. 求 t≥t1t\ge t_1 时的 vL(t)v_L(t)；
    3. 当 t1=10L/Rt_1=10L/R 时，画出 0<t<2t10<t<2t_1 内 vL(t)v_L(t) 的大致波形。

考点​

  • 传输线反射系数：由负载与特性阻抗的失配程度计算反射。
  • 无损传输线输入阻抗：使用 tan⁡(βl)\tan(\beta l) 形式的阻抗变换公式。
  • 阻抗匹配与功率：在匹配终端下结合电压分配和负载功率。
  • 一阶 RLRL 暂态：分别求脉冲接通和关断后的指数响应并处理连续电流。

Kai​

(1)​

(a)​

Γ=Z−Z0Z+Z0\Gamma = \frac{Z - Z_0}{Z + Z_0}

(b)​

Zin=Z0⋅Zr+jZ0tan⁡βlZ0+jZrtan⁡βl=Z0⋅aZ0+jZ0tan⁡βlZ0+ajZ0tan⁡βlZ_{in} = Z_0 \cdot \frac{Z_r + jZ _0 \tan\beta l}{Z_0 + jZ_r\tan\beta l} = Z_0 \cdot \frac{aZ_0 + jZ_0\tan\beta l}{Z_0 + ajZ_0\tan\beta l}

a≠1a \neq 1 排除了实部和虚部对应成比例的可能，必须让虚部为 00 或者无穷

βl=0+kπ\beta l = 0 + k\pi

or

βl=π2+kπ\beta l = \frac{\pi}{2} + k\pi

(c)​

终端没有反射，电压全部吸收：

V2Z=0.5\frac{V^2}{Z} = 0.5
V=5V = 5

输入端的输入阻抗为:

Zin=Z0=50Z_{in} = Z_0 = 50

那么透过的波比例为：

t=1+r=1+50−1050+10=53t = 1 + r = 1 + \frac{50 - 10}{50 + 10} = \frac{5}{3}
E=3VE = 3V

(2)​

(a) - (b)​

e(t)=E0⋅[u(t)−u(t−t1)]e(t) = E_0 \cdot [u(t) - u(t - t_1)]
E(s)=E0s⋅(1−e−t1s)E(s) = \frac{E_0}{s} \cdot (1 - e^{-t_1s})
VL=E(s)R+sL⋅sL=E0(1−e−t1s)(S+RL)V_L = \frac{E(s)}{R + sL} \cdot sL = \frac{E_0(1 - e^{-t_1s})}{(S + \frac{R}{L})}
VL(t)=E0⋅eRLt⋅u(t)−E0⋅eRL(t−t1)⋅u(t−t1)V_L(t) = E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}t} \cdot u(t) - E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}(t - t_1)} \cdot u(t - t_1)

翻译成不含有开关函数的形式：

VL=E0⋅eRLt,0<t<t1V_L = E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}t},0 < t < t_1
VL=E0⋅eRLt−E0⋅eRL(t−t1),t>t1V_L = E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}t} - E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}(t - t_1)},t > t_1

第二种还有进一步写法可以看出更明显的物理意义，本质上写出带开关的表达本题就完全解决了：

VL=E0⋅eRLt−E0⋅eRL(t−t1)=E0⋅(1−eRLt1)⋅ERLt,t>t1V_L= E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}t} - E_0 \cdot e^{\frac{R}{L}(t - t_1)} = E_0 \cdot (1 - e^{\frac{R}{L}t_1}) \cdot E^{\frac{R}{L}t},t > t_1

就是电感有初始值的放电，但是电感的电压是会突变的，因此看起来有些奇怪如果考察电流就一目了然了。

(c)​

t1=10πt_1 = 10\pi , 可以认为充放电足够完成，

e10≫1e^{10} \gg 1

所以反向过充电压约等于 −E0-E_0 图如下：

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