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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2019年3月実施 専門科目 問題6 物理専門

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語版​

xx 軸上のポテンシャル V(x)V(x) の中の質量 mm の粒子の量子状態を考える。ここで、粒子はエネルギー ε\varepsilon の定常状態にあるものとする。以下の問に答えよ。以下において、ii は虚数単位、a,k,α,κa,k,\alpha,\kappa は正の実数、A,B,C,D,FA,B,C,D,F は複素数とする。δ(x)\delta(x) はディラックのデルタ関数であり、ℏ=h2π\hbar=\frac h{2\pi}（hh はプランク定数）である。

(1) ポテンシャル

V(x)=−αδ(x)(6A)V(x)=-\alpha\delta(x)\tag{6A}

を考える。

(a) x=0x=0 において、定常状態の波動関数 ψ(x)\psi(x) は連続であるが、その導関数 dψdx\frac{d\psi}{dx} は不連続である。x=0x=0 の近傍で時間に依存しないシュレーディンガー方程式を積分することにより、次の関係を導出せよ。

dψdx∣x=+0−dψdx∣x=−0=−2mαℏ2ψ(0).(6B)\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x=+0}-\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x=-0}=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0).\tag{6B}

(b) 一般に、ε>0\varepsilon>0 のときの定常状態の波動関数 ψ1(x)\psi_1(x) は

ψ1(x)={Aeikx+Be−ikx(x≤0)Ceikx+De−ikx(x>0)(6C)\psi_1(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&(x\le0)\\Ce^{ikx}+De^{-ikx}&(x>0)\end{cases}\tag{6C}

と書ける。ここで、粒子が領域 x<0x<0 から領域 x>0x>0 に透過する場合を考え、D=0D=0 とする。BA\frac BA と CA\frac CA を i,k,m,α,ℏi,k,m,\alpha,\hbar を用いて表せ。

(2) ポテンシャル

V(x)=−α[δ(x+a)+δ(x−a)](6D)V(x)=-\alpha[\delta(x+a)+\delta(x-a)]\tag{6D}

を考える。ε<0\varepsilon<0 のときの定常状態の波動関数 ψ2(x)\psi_2(x)（束縛解）は

ψ2(x)={Aeκx(x≤−a)Ceκx+De−κx(−a<x<a)Fe−κx(x≥a)(6E)\psi_2(x)=\begin{cases}Ae^{\kappa x}&(x\le-a)\\Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}&(-a<x<a)\\Fe^{-\kappa x}&(x\ge a)\end{cases}\tag{6E}

と書ける。

(a) CC と DD の関係を導出せよ。

(b) 22 つの束縛解が存在するための条件を a,m,α,ℏa,m,\alpha,\hbar を用いて表せ。

题目描述​

一维定态 Schrödinger 方程描述质量 mm、能量 ε\varepsilon 的粒子。a,k,α,κ>0a,k,\alpha,\kappa>0，ℏ=h/(2π)\hbar=h/(2\pi)。

(1) 势为 V(x)=−αδ(x)V(x)=-\alpha\delta(x)。

(a) 波函数在 00 连续。对方程在 00 附近积分，证明

ψ′(0+)−ψ′(0−)=−2mαℏ2ψ(0).\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0).

(b) 当 ε>0\varepsilon>0，k=2mε/ℏk=\sqrt{2m\varepsilon}/\hbar，设

ψ1(x)={Aeikx+Be−ikx,x≤0,Ceikx+De−ikx,x>0.\psi_1(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx},&x\le0,\\Ce^{ikx}+De^{-ikx},&x>0.\end{cases}

粒子从左入射，取 D=0D=0，求 B/A,C/AB/A,C/A。

(2) 势为 V(x)=−α[δ(x+a)+δ(x−a)]V(x)=-\alpha[\delta(x+a)+\delta(x-a)]。负能束缚态取

ψ2(x)={Aeκx,x≤−a,Ceκx+De−κx,−a<x<a,Fe−κx,x≥a,κ=−2mε/ℏ.\psi_2(x)=\begin{cases}Ae^{\kappa x},&x\le-a,\\Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},&-a<x<a,\\Fe^{-\kappa x},&x\ge a,\end{cases}\qquad \kappa=\sqrt{-2m\varepsilon}/\hbar.

(a) 求 C,DC,D 的关系；(b) 求有两个束缚态的条件。

Kai​

(1)​

(a) 将 −ℏ2ψ′′/(2m)−αδ(x)ψ=εψ-\hbar^2\psi''/(2m)-\alpha\delta(x)\psi=\varepsilon\psi 在 [−η,η][-\eta,\eta] 上积分并令 η→0+\eta\to0^+：

−ℏ22m[ψ′(0+)−ψ′(0−)]−αψ(0)=0,-\frac{\hbar^2}{2m}[\psi'(0^+)-\psi'(0^-)]-\alpha\psi(0)=0,

即得所证。

(b) 记 g=mα/ℏ2g=m\alpha/\hbar^2。连续性与导数跳跃条件为

A+B=C,ikC−ik(A−B)=−2gC.A+B=C,\qquad ikC-ik(A-B)=-2gC.

因此

BA=−gg+ik=igk−ig,CA=ikg+ik=kk−ig.\boxed{\frac BA=-\frac g{g+ik}=\frac{ig}{k-ig},\qquad \frac CA=\frac{ik}{g+ik}=\frac k{k-ig}}.

(2)​

(a) 在 x=±ax=\pm a 分别应用连续及跳跃条件，消去 A,FA,F，得到

(κ−g)C=ge−2κaD,(κ−g)D=ge−2κaC.\boxed{(\kappa-g)C=ge^{-2\kappa a}D,\qquad(\kappa-g)D=ge^{-2\kappa a}C}.

非零解要求

κ=g(1±e−2κa).\kappa=g(1\pm e^{-2\kappa a}).

正号对应 C=DC=D 的偶态，负号对应 C=−DC=-D 的奇态。

(b) 偶态方程右端从 2g2g 严格下降至 gg，故总有唯一正根。奇态方程为

κ=g(1−e−2κa).\kappa=g(1-e^{-2\kappa a}).

右端严格凹，在原点斜率为 2ag2ag；存在非零正根当且仅当 2ag>12ag>1。故两个束缚态存在的条件为

2amαℏ2>1.\boxed{\frac{2am\alpha}{\hbar^2}>1}.

等号时仅出现 κ=0\kappa=0，对应波函数不可归一化，不能计为束缚态。

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