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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2018年8月実施 専門科目 問題6 物理専門

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語原文​

ハミルトニアンが次式で与えられる量子系を考える。

H^=T^+V^(6A)\hat H=\hat T+\hat V\tag{6A}

ただし、

T^=p^22m,V^=12kx^2(6B)\hat T=\frac{\hat p^2}{2m},\qquad\hat V=\frac12k\hat x^2\tag{6B}

である。ここで、mm と kk はそれぞれ粒子の質量と正の定数である。x^\hat x と p^\hat p はそれぞれ位置演算子と運動量演算子であり、次式を満たす。

[x^,p^]=x^p^−p^x^=iℏ(6C)[\hat x,\hat p]=\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar\tag{6C}

ただし、ii と ℏ\hbar は虚数単位とプランク定数を 2π2\pi で割った数である。さらに、この系の規格化された状態ベクトル ∣ψ⟩|\psi\rangle に対して、∣f⟩|f\rangle と ∣g⟩|g\rangle を次のように定義する。

∣f⟩=(x^−⟨x^⟩)∣ψ⟩,∣g⟩=(p^−⟨p^⟩)∣ψ⟩(6D)|f\rangle=(\hat x-\langle\hat x\rangle)|\psi\rangle,\quad|g\rangle=(\hat p-\langle\hat p\rangle)|\psi\rangle\tag{6D}

ここで、任意の演算子 A^\hat A の期待値は

⟨A^⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩(6E)\langle\hat A\rangle=\langle\psi|\hat A|\psi\rangle\tag{6E}

と与えられる。以下の問に答えよ。

(1) 次式が成り立つことを示せ。

⟨f∣g⟩=⟨x^p^⟩−⟨x^⟩⟨p^⟩(6F)\langle f|g\rangle=\langle\hat x\hat p\rangle-\langle\hat x\rangle\langle\hat p\rangle\tag{6F}

(2) ∣ψ⟩|\psi\rangle に対する x^\hat x と p^\hat p の分散はそれぞれ σx2=⟨f∣f⟩\sigma_x^2=\langle f|f\rangle、σp2=⟨g∣g⟩\sigma_p^2=\langle g|g\rangle と与えられる。σx2σp2\sigma_x^2\sigma_p^2 の下限値を求めよ。次の関係が成り立つことに注意せよ。

⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩≥∣⟨f∣g⟩∣2(6G)\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle\ge|\langle f|g\rangle|^2\tag{6G}
∣z∣2≥(12i(z−z∗))2(6H)|z|^2\ge\left(\frac1{2i}(z-z^*)\right)^2\tag{6H}

ただし、zz は任意の複素数、z∗z^* は zz の複素共役である。

(3) 演算子 A^\hat A が陽には時間に依存しないとし、期待値 ⟨A^⟩\langle\hat A\rangle の時間微分が次式のように与えられることを示せ。

ddt⟨A^⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩(6I)\frac d{dt}\langle\hat A\rangle=\frac i\hbar\langle[\hat H,\hat A]\rangle\tag{6I}

ただし、[H^,A^]=H^A^−A^H^[\hat H,\hat A]=\hat H\hat A-\hat A\hat H である。

(4) x^p^\hat x\hat p が陽には時間に依存しないとし、期待値 ⟨x^p^⟩\langle\hat x\hat p\rangle の時間微分を ⟨T^⟩\langle\hat T\rangle と ⟨V^⟩\langle\hat V\rangle を用いて表せ。さらに、この系が定常状態にあるとき、⟨T^⟩\langle\hat T\rangle と ⟨V^⟩\langle\hat V\rangle の関係を示せ。

题目描述​

量子体系 H^=T^+V^\hat H=\hat T+\hat V，其中 T^=p^2/(2m), V^=kx^2/2\hat T=\hat p^2/(2m),\ \hat V=k\hat x^2/2，m,k>0m,k>0，[x^,p^]=iℏ[\hat x,\hat p]=i\hbar。对归一化态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 定义

∣f⟩=(x^−⟨x^⟩)∣ψ⟩,∣g⟩=(p^−⟨p^⟩)∣ψ⟩.|f\rangle=(\hat x-\langle\hat x\rangle)|\psi\rangle,\quad |g\rangle=(\hat p-\langle\hat p\rangle)|\psi\rangle.

(1) 证明 ⟨f∣g⟩=⟨x^p^⟩−⟨x^⟩⟨p^⟩\langle f|g\rangle=\langle\hat x\hat p\rangle-\langle\hat x\rangle\langle\hat p\rangle。

(2) 由 Cauchy–Schwarz 不等式及 ∣z∣2≥[(z−z∗)/(2i)]2|z|^2\ge[(z-z^*)/(2i)]^2，求 σx2σp2\sigma_x^2\sigma_p^2 的下界，其中 σx2=⟨f∣f⟩, σp2=⟨g∣g⟩\sigma_x^2=\langle f|f\rangle,\ \sigma_p^2=\langle g|g\rangle。

(3) 对无显式时间依赖的算符 A^\hat A，证明 d⟨A^⟩/dt=(i/ℏ)⟨[H^,A^]⟩d\langle\hat A\rangle/dt=(i/\hbar)\langle[\hat H,\hat A]\rangle。

(4) 用 ⟨T^⟩,⟨V^⟩\langle\hat T\rangle,\langle\hat V\rangle 表示 d⟨x^p^⟩/dtd\langle\hat x\hat p\rangle/dt，并求定态中两者关系。

Kai​

(1)​

直接展开并利用 ⟨ψ∣ψ⟩=1\langle\psi|\psi\rangle=1：

⟨f∣g⟩=⟨(x^−⟨x^⟩)(p^−⟨p^⟩)⟩=⟨x^p^⟩−⟨x^⟩⟨p^⟩.\langle f|g\rangle=\langle(\hat x-\langle\hat x\rangle)(\hat p-\langle\hat p\rangle)\rangle=\boxed{\langle\hat x\hat p\rangle-\langle\hat x\rangle\langle\hat p\rangle}.

(2)​

令 z=⟨f∣g⟩z=\langle f|g\rangle，则 z−z∗=⟨[x^,p^]⟩=iℏz-z^*=\langle[\hat x,\hat p]\rangle=i\hbar。故

σx2σp2≥∣z∣2≥ℏ2/4.\boxed{\sigma_x^2\sigma_p^2\ge |z|^2\ge\hbar^2/4}.

高斯态可取等号，故下界确为 ℏ2/4\hbar^2/4。

(3)​

由 iℏ∣ψ˙⟩=H^∣ψ⟩i\hbar|\dot\psi\rangle=\hat H|\psi\rangle 及其伴随式，

ddt⟨A^⟩=⟨ψ˙∣A^∣ψ⟩+⟨ψ∣A^∣ψ˙⟩=iℏ⟨H^A^−A^H^⟩=iℏ⟨[H^,A^]⟩.\begin{aligned} \frac d{dt}\langle\hat A\rangle&=\langle\dot\psi|\hat A|\psi\rangle+\langle\psi|\hat A|\dot\psi\rangle\\ &=\frac i\hbar\langle\hat H\hat A-\hat A\hat H\rangle=\boxed{\frac i\hbar\langle[\hat H,\hat A]\rangle}. \end{aligned}

(4)​

利用 [p^2,x^p^]=−2iℏp^2[\hat p^2,\hat x\hat p]=-2i\hbar\hat p^2 和 [x^2,x^p^]=2iℏx^2[\hat x^2,\hat x\hat p]=2i\hbar\hat x^2，得到

ddt⟨x^p^⟩=2⟨T^⟩−2⟨V^⟩.\boxed{\frac d{dt}\langle\hat x\hat p\rangle=2\langle\hat T\rangle-2\langle\hat V\rangle}.

定态中左端为零，所以 ⟨T^⟩=⟨V^⟩\boxed{\langle\hat T\rangle=\langle\hat V\rangle}。

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