東北大学工学研究科電気・情報系 2018年8月実施専門科目問題2 通信工学

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

変調信号を $s(t)$ とし、搬送波 $A_c\cos(2\pi f_ct)$ により生成される振幅変調波

g_{AM}(t)=A_c[1+m\cdot s(t)]\cos(2\pi f_ct)

を考える。ただし、 $|s(t)|\le1$ であるとする。また、 $m$ は変調指数で $0<m\le1$ を満たす。この変調波を Fig. 2 に示す検波器で復調する。Fig. 2 の点 X における電圧波形 $\widetilde g_{AM}(t)$ は次式で与えられるものとする。

\widetilde g_{AM}(t)=\begin{cases}g_{AM}(t)&g_{AM}(t)\ge0\text{ のとき}\\0&\text{上記以外のとき}\end{cases}

また、検波器中の LPF は理想低域通過フィルタを表し、その周波数応答は次式で与えられる。

H(f)=\begin{cases}1&-f_0\le f\le f_0\text{ のとき}\\0&\text{上記以外のとき}\end{cases}

このとき、以下の問に答えよ。

(1) 検波器中の理想低域通過フィルタの単位インパルス応答 $h(t)$ を求め、 $h(t)$ の概形を図示せよ。

(2) 任意の時刻 $t$ において $s(t)=0$ であるとする。

(a) 点 X における波形 $\widetilde g_{AM}(t)$ の概形を図示せよ。

(b) $\widetilde g_{AM}(t)$ を基本周波数 $f_c$ のフーリエ級数で表せ。

(3) 変調信号 $s(t)$ が $|f|\le f_m$ に帯域制限されているとき、問 (2)(b) の結果を用いて検波器で変調信号が復調できることを説明せよ。ただし、 $0<f_m<f_0\ll f_c$ とする。

调幅波为 $g_{AM}(t)=A_c[1+ms(t)]\cos(2\pi f_ct)$ ，其中 $|s(t)|\le1,\ 0<m\le1$ 。信号依次经过半波整流器、理想低通滤波器及隔直流器。

整流器输出 $\widetilde g_{AM}(t)=\max\{g_{AM}(t),0\}$ ，低通响应为 $H(f)=1$ （ $|f|\le f_0$ ），其余为 $0$ 。

(1) 求并画出低通滤波器的单位冲激响应 $h(t)$ 。

(2) 令 $s(t)=0$ ：(a) 画整流输出波形；(b) 以 $f_c$ 为基频求其 Fourier 级数。

(3) 当 $s(t)$ 的频带限制为 $[-f_m,f_m]$ ，且 $0<f_m<f_0\ll f_c$ 时，利用(2)(b)解释解调原理。

取 $h(t)=\int H(f)e^{i2\pi ft}\,df$ ，则

\boxed{h(t)=\frac{\sin(2\pi f_0t)}{\pi t}=2f_0\operatorname{sinc}(2f_0t)},\qquad h(0)=2f_0,

其中 $\operatorname{sinc}u=\sin(\pi u)/(\pi u)$ 。其为偶函数，非零整数 $n$ 对应的零点为 $t=n/(2f_0)$ 。

(a) $\widetilde g_{AM}=A_c\max(\cos(2\pi f_ct),0)$ ，保留余弦的正半周，负半周为零。

低通冲激响应及半波整流波形

(b) 令 $\theta=2\pi f_ct$ 。偶函数 $q(\theta)=\max(\cos\theta,0)$ 的常数项为 $1/\pi$ ，一次谐波系数为 $1/2$ ；对 $n\ge1$ ，

a_{2n}=\frac1\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\cos(2n\theta)\,d\theta=\frac{2(-1)^{n-1}}{\pi(4n^2-1)}.

故

\boxed{\widetilde g_{AM}(t)=A_c\left[\frac1\pi+\frac12\cos(2\pi f_ct)+\frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\cos(4\pi nf_ct)}{4n^2-1}\right]}.

因 $1+ms(t)\ge0$ ，整流后为 $A_c[1+ms(t)]q(2\pi f_ct)$ 。与 $q$ 的常数项相乘得到基带，其余频谱位于载频及谐波附近。由频带分离，低通输出

\frac{A_c}{\pi}[1+ms(t)].

隔去直流后为 $\boxed{A_cm[s(t)-\bar s]/\pi}$ ，其中 $\bar s$ 是信号直流分量。特别地， $s$ 零均值时，输出为 $A_cms(t)/\pi$ ，恢复原调制信号的波形。