東北大学 工学研究科 電気・情報系 2018年8月実施 専門科目 問題1 電気工学（制御・問3）

标签：

• Tohoku-University
• Routh-Hurwitz-Stability
• Steady-State-Error

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語原文

(3) Fig. 1(d) のような制御系がある。同図において、$r(t),e(t),y(t)$ はそれぞれ目標値、偏差、制御量を表す。次の問に答えよ。ただし、$K$ は定数（$K>0$）である。

(a) この制御系が安定であるための $K$ の値の範囲を求めよ。

(b) この制御系が安定で、かつ定常位置偏差が $0.1$ 以下であるための $K$ の値の範囲を求めよ。

题目描述

(3) 考虑单位负反馈系统，比例增益 $K>0$，对象传递函数为

$$P(s)=\frac1{(s+1)(s^2+3s+1)}.$$

(a) 求闭环稳定时 $K$ 的范围；(b) 求同时稳定且稳态位置误差不超过 $0.1$ 时 $K$ 的范围。

Kai

(3)(a)

闭环特征多项式为

$$p(s)=(s+1)(s^2+3s+1)+K=s^3+4s^2+4s+1+K.$$

Routh 表为

$$\begin{array}{c|cc} s^3&1&4\\s^2&4&1+K\\s^1&(15-K)/4&0\\s^0&1+K&0 \end{array}$$

首列全部为正且 $K>0$，得到 $\boxed{0<K<15}$。

(3)(b)

单位阶跃输入对应的位置误差为

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac1{1+\lim_{s\to0}KP(s)}=\frac1{1+K}.$$

由 $e_{\mathrm{ss}}\le0.1$ 得 $K\ge9$，与稳定条件取交集：

$$\boxed{9\le K<15}.$$