東北大学 工学研究科 電気・情報系 2018年8月実施 専門科目 問題1 電気工学

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• Tohoku-University
• Routh-Hurwitz-Stability
• Steady-State-Error

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語原文

(3) Fig. 1(d) のような制御系がある。同図において、$r(t),e(t),y(t)$ はそれぞれ目標値、偏差、制御量を表す。次の問に答えよ。ただし、$K$ は定数（$K>0$）である。

(a) この制御系が安定であるための $K$ の値の範囲を求めよ。

(b) この制御系が安定で、かつ定常位置偏差が $0.1$ 以下であるための $K$ の値の範囲を求めよ。

題意の要約

大学公開の原題、1–3 ページ

(1) 入力電圧から直列抵抗 $R$ を経て接地されたコンデンサ $C$ に接続し、コンデンサ電圧を出力とする。(a) 伝達関数を求める。(b) $R=C=1$ の全周波数 Nyquist 軌跡を描き、$\omega=0,1,\infty$ の点を示す。

(2) 同じ直列経路にコイル $L$ を追加する。(a) 伝達関数を求める。(b) $R=L=C=1$ のときのゲインと位相を求める。(c) 直流電源 $E$ をスイッチで接続し、十分時間が経過した後の出力を求める。

题目描述

(3) 考虑单位负反馈系统，比例增益 $K>0$，对象传递函数为

$$P(s)=\frac1{(s+1)(s^2+3s+1)}.$$

(a) 求闭环稳定时 $K$ 的范围；(b) 求同时稳定且稳态位置误差不超过 $0.1$ 时 $K$ 的范围。

Kai

(1)

(a) 由阻抗分压，

$$\boxed{G_1(s)=\frac1{1+RCs}}.$$

(b) $R=C=1$ 时，$G_1(j\omega)=(1-j\omega)/(1+\omega^2)$。设实部为 $x$、虚部为 $y$，则

$$\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14.$$

全频率轨迹为圆心 $(1/2,0)$、半径 $1/2$ 的圆，原点为 $|\omega|\to\infty$ 的极限。$\omega$ 从 $-\infty$ 增至 $0$ 时沿上半圆从原点到 $(1,0)$，再沿下半圆返回原点；$\omega=1$ 对应 $(1/2,-1/2)$。

(2)

(a) 串联 RLC 电路满足 $e=Ri+L\dot i+v$、$i=C\dot v$，故

$$\boxed{G_2(s)=\frac1{LCs^2+RCs+1}}.$$

(b) $R=L=C=1$ 时，

$$\boxed{|G_2(j\omega)|=\frac1{\sqrt{(1-\omega^2)^2+\omega^2}}},\qquad \boxed{\arg G_2(j\omega)=-\operatorname{atan2}(\omega,1-\omega^2)}.$$

对 $\omega\ge0$，相位从 $0$ 连续下降，经 $\omega=1$ 时的 $-\pi/2$ 趋近 $-\pi$；使用普通 $\arctan$ 时须补上象限。

(c) 稳态电容断路，电流为零，电阻、电感压降均为零，故 $\boxed{v_0=E}$。

(3)(a)

闭环特征多项式为

$$p(s)=(s+1)(s^2+3s+1)+K=s^3+4s^2+4s+1+K.$$

Routh 表为

$$\begin{array}{c|cc} s^3&1&4\\s^2&4&1+K\\s^1&(15-K)/4&0\\s^0&1+K&0 \end{array}$$

首列全部为正且 $K>0$，得到 $\boxed{0<K<15}$。

(3)(b)

单位阶跃输入对应的位置误差为

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac1{1+\lim_{s\to0}KP(s)}=\frac1{1+K}.$$

由 $e_{\mathrm{ss}}\le0.1$ 得 $K\ge9$，与稳定条件取交集：

$$\boxed{9\le K<15}.$$