東北大学工学研究科電気・情報系 2018年3月実施専門科目問題2 通信工学

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Fig. 2 に示す送信器を考える。送信信号として、 $[-f_m,f_m]$ に帯域制限された信号 $g(t)$ を考える。また $0<f_m\ll f_c$ とする。ここで $f_c$ は搬送波周波数である。以下の問に答えよ。

(1) 信号 $g(t)$ が次の周期 $T$ のインパルス系列 $p_s(t)$ を用いて標本化される。

g_s(t)=g(t)p_s(t),\qquad p_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT).

ここで、 $g_s(t)$ は標本化された信号、 $\delta(t)$ は単位インパルス関数である。

(a) $p_s(t)$ のフーリエ変換を $P_s(f)$ とする。以下の式が成り立つことを示せ。

P_s(f)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta\left(f-\frac nT\right).

(b) $g(t)$ 、 $g_s(t)$ のフーリエ変換をそれぞれ $G(f)$ 、 $G_s(f)$ とする。以下の式が成り立つことを示せ。

G_s(f)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{+\infty}G\left(f-\frac nT\right).

必要に応じて以下の公式を用いてよい。

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)f(x)dx=f(a).

ここで、 $f(x)$ は実関数、 $a$ は実数である。

(2) 標本化された $g_s(t)$ を量子化及び符号化することでバイナリ系列 $\{a_n\}$ （ $n$ は整数）を得る。両側波帯 (DSB) 変調器に入力される信号 $u_m(t)$ は、以下の式で表される。

u_m(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_nu(t-nT_b).

ここで、 $b_n$ は $a_n$ の値によって定まる係数で、 $T_b$ は $1$ ビットあたりのパルス幅で、 $u(t)$ は以下の式で与えられる単位パルス信号である。

u(t)=\begin{cases}1&0\le t\le T_b\text{ のとき}\\0&\text{その他}\end{cases}

送信器出力を位相シフトキーイングとする場合、 $b_n$ を以下のように定める。

b_n=\begin{cases}-A&a_n=0\text{ のとき}\\A&a_n=1\text{ のとき}\end{cases}

このときバイナリ系列 $\{a_n\}$ を $(0,1)$ の無限繰り返し系列 $(\ldots,0,1,0,1,\ldots)$ とした場合、DSB 変調器入力信号 $u_m(t)$ のフーリエ級数を求めよ。ただし $a_0=0$ である。

信号 $g(t)$ 的频谱限制在 $[-f_m,f_m]$ ，其中 $0<f_m\ll f_c$ ， $f_c$ 为载波频率。

用周期冲激列 $p_s(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(t-nT)$ $p_{s} (t) = \sum_{n \in Z} δ (t - n T)$ 采样，得到 $g_s(t)=g(t)p_s(t)$ $g_{s} (t) = g (t) p_{s} (t)$ 。
- (a) 证明 $P_s(f)=\frac1T\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(f-n/T)$ 。
- (b) 证明 $G_s(f)=\frac1T\sum_{n\in\mathbb Z}G(f-n/T)$ 。
- (c) 求能从 $g_s(t)$ 恢复 $g(t)$ 的采样周期条件。
采样信号经量化编码得到二进制序列 $a_n$ ，再转换为 DSB 调制器的输入

u_m(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}b_nu(t-nT_b),\qquad u(t)=\begin{cases}1,&0\le t\le T_b,\\0,&\text{其他},\end{cases}

其中 $b_n=-A$ （ $a_n=0$ ）， $b_n=A$ （ $a_n=1$ ）。若 $a_n$ 为无限交替序列 $\ldots,0,1,0,1,\ldots$ ，且 $a_0=0$ ，求 $u_m(t)$ 的 Fourier 级数。

(a) 周期冲激列的每个 Fourier 系数为 $1/T$ ，故在分布意义下

p_s(t)=\frac1T\sum_{n\in\mathbb Z}e^{i2\pi nt/T} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_s(f)=\frac1T\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(f-n/T)}.

(b) 由时域相乘对应频域卷积，

\boxed{G_s(f)=G*P_s(f)=\frac1T\sum_{n\in\mathbb Z}G(f-n/T)}.

(c) 频谱副本不重叠要求 $1/T>2f_m$ ，即

\boxed{0<T<\frac1{2f_m}}.

此时用通带增益 $T$ 、截止频率位于 $f_m$ 与 $1/T-f_m$ 之间的理想低通即可恢复。若已排除带宽端点的非零谱线，可允许临界等号。

$u_m$ 的周期为 $2T_b$ ，在 $(0,T_b)$ 为 $-A$ ，在 $(-T_b,0)$ 为 $A$ ，故为奇函数，只含正弦项。第 $n$ 个正弦系数为

\beta_n=\frac2{T_b}\int_0^{T_b}(-A)\sin\frac{n\pi t}{T_b}\,dt =-\frac{2A}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).

因此

\boxed{u_m(t)=-\frac{4A}{\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac1{2k+1} \sin\frac{(2k+1)\pi t}{T_b}}.

跳跃点处 Fourier 级数取左右极限均值 $0$ 。