東北大学工学研究科電気・情報系 2018年3月実施専門科目問題1 電気工学

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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日本語版

(1) Fig. 1(a) は直流電動機であり、 $v_a(t)$ は電機子電圧、 $i_a(t)$ は電機子電流、 $R_a$ は電機子巻線の抵抗、 $L_a$ は電機子巻線のインダクタンス、 $\theta(t)$ は回転角である。直流電動機の速度起電力 $e_V(t)$ は次式で与えられる。

e_V(t)=K_V\frac{d\theta(t)}{dt}.\tag{1A}

ここで、 $K_V$ は速度起電力定数である。また、直流電動機の機械系に関する方程式は次式で与えられる。

K_Ti_a(t)=J\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+D\frac{d\theta(t)}{dt}.\tag{1B}

ここで、 $K_T$ はトルク定数、 $J$ は負荷も含めた電動機の慣性モーメント、 $D$ は電動機の粘性抵抗である。次の問に答えよ。

(d) 伝達関数 $G(s)$ の単位インパルス応答 $g(t)$ を求めよ。ただし、 $R_a=1$ 、 $L_a=1$ 、 $J=1$ 、 $D=4$ 、 $K_V=2$ 、 $K_T=1$ とする。

(2) Fig. 1(b) のような制御系がある。同図において、 $R(s)$ 、 $E(s)$ 、 $C(s)$ 、 $D(s)$ は目標値 $r(t)$ 、偏差 $e(t)$ 、制御量 $c(t)$ 、外乱 $d(t)$ をそれぞれラプラス変換したものである。また、 $K$ は正の定数である。次の問に答えよ。

(a) $R(s)$ 、 $D(s)$ 、 $K$ 、 $s$ を使って $E(s)$ を表わせ。

(b) 定常位置偏差 $\varepsilon_p$ を求めよ。ただし、 $r(t)=1$ 、 $d(t)=0.2$ 、 $K=1$ とする。

(d) 目標値 $r(t)=0$ 、外乱 $d(t)=\sin t$ とする。周期的な振動成分の大きさが (2)(c) で求めた $p(t)$ の大きさの $1/2$ となる $K$ に関する条件を求めよ。

題意の要約

(1)(a)–(c) 直流モータの電機子回路は $R_a,L_a$ と逆起電力 $K_V\dot\theta$ の直列回路であり、機械系は $K_Ti_a=J\ddot\theta+D\dot\theta$ に従う。(a) 電気回路の方程式、(b) 初期値を含む各方程式のラプラス変換、(c) $G(s)=\Theta(s)/V_a(s)$ を求める。図と原文は大学公開の原題、1–3 ページを参照。

题目描述

(1)(d) 给定传递函数 $G(s)=1/[s(s+2)(s+3)]$ ，求单位冲激响应 $g(t)$ 。

(2) 单位负反馈系统中，误差 $E=R-C$ 经比例增益 $K>0$ 后，与扰动 $D$ 相加，再经过对象 $1/(s+1)$ ，得到输出 $C$ 。

(a) 用 $R,D,K,s$ 表示 $E(s)$ 。
(b) $r(t)=1,d(t)=0.2,K=1$ 时求稳态位置误差。
(c) $r(t)=0,d(t)=\sin t,K=1$ 时求误差中的周期振荡 $p(t)$ 。
(d) $r(t)=0,d(t)=\sin t$ 时，求使周期振荡幅度恰为 (c) 的一半的 $K$ 。

Kai

(1)(a)–(c)

(a) Kirchhoff 电压定律给出

\boxed{v_a=R_ai_a+L_a\dot i_a+K_V\dot\theta}.

(b) 单边拉普拉斯变换为

V_a=(R_a+L_as)I_a-L_ai_a(0)+K_V[s\Theta-\theta(0)],

K_TI_a=J[s^2\Theta-s\theta(0)-\dot\theta(0)]+D[s\Theta-\theta(0)].

机械方程含二阶导数，一般必须保留初始角速度 $\dot\theta(0)$ ；若电动机初始静止，该项才为零。

(c) 传递函数取所有初始状态为零，消去 $I_a$ ，得到

\boxed{G(s)=\frac{K_T}{s[(L_as+R_a)(Js+D)+K_VK_T]}}.

代入 (d) 的参数，确有 $G(s)=1/[s(s+2)(s+3)]$ 。

(1)(d)

G(s)=\frac1{6s}-\frac1{2(s+2)}+\frac1{3(s+3)},

故 $\boxed{g(t)=\frac16-\frac12e^{-2t}+\frac13e^{-3t}\quad(t\ge0)}$ 。

(2)

(a) $C=(KE+D)/(s+1)$ 、 $E=R-C$ ，故

\boxed{E(s)=\frac{(s+1)R(s)-D(s)}{s+1+K}}.

(b) 闭环极点为 $-1-K<0$ ，终值定理给出

\boxed{\varepsilon_p=\frac{1-0.2}{2}=0.4}.

(c) 此时 $\dot e+2e=-\sin t$ 。设稳态周期解 $p(t)=a\sin t+b\cos t$ ，得 $2a-b=-1,a+2b=0$ ，所以

\boxed{p(t)=-\frac25\sin t+\frac15\cos t},\qquad\text{幅度}=\frac1{\sqrt5}.

(d) 一般 $K$ 下的幅度为 $1/\sqrt{(K+1)^2+1}$ 。令其等于 $1/(2\sqrt5)$ ，得到

\boxed{K=\sqrt{19}-1}.

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題意の要約​

题目描述​

Kai​

(1)(a)–(c)​

(1)(d)​

(2)​