東北大学工学研究科電気・情報系 2017年8月実施専門科目問題1 電気工学

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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日本語版

(1) Fig. 1(a) のような制御系がある。同図において、 $R(s)$ は目標値、 $E(s)$ は偏差、 $C(s)$ は制御量、 $K$ は正の定数である。次の問に答えよ。

(a) 目標値 $R(s)$ が単位ステップ関数である場合、偏差 $E(s)$ を求めよ。

(b) 定常位置偏差 $\varepsilon_p$ が $0.1$ 未満となるゲイン $K$ の範囲を求めよ。

(d) 位相交差角周波数を求めよ。

(e) この制御系が安定であるためのゲイン $K$ の値の範囲を求めよ。

題意の要約

(2) 電圧 $e_1$ の入力端から抵抗 $R$ を経て節点 $e_2$ 、次にコイル $L$ を経て出力 $e_3$ に接続する。 $e_2,e_3$ の各節点と接地の間には、それぞれ容量 $C$ のコンデンサを置く。抵抗とコイルの電流を $i_1,i_2$ とする。(a)(b) 二つの閉回路の方程式を求める。(c) $E_2=G_1(E_1-E_2-G_3E_3)$ 、 $E_3=G_2(E_2-E_3)$ に対応する各伝達関数を求める。図と原文は大学公開の原題、1–3 ページを参照。

题目描述

(1) 单位负反馈系统的前向传递函数为

G_0(s)=\frac K{(s+1)(s+3)(s+5)},\qquad K>0.

$R(s),E(s),C(s)$ 分别为目标输入、误差与输出。求：(a) 单位阶跃输入时的 $E(s)$ ；(b) 稳态位置误差 $\varepsilon_p<0.1$ 的 $K$ 范围；(c) 开环频率传递函数 $G_0(j\omega)$ ；(d) 相位交越频率；(e) 闭环稳定的 $K$ 范围。

Kai

(1)(a)、(b)

\boxed{E(s)=\frac{(s+1)(s+3)(s+5)}{s\{(s+1)(s+3)(s+5)+K\}}}.

在闭环稳定的前提下，终值定理给出

\varepsilon_p=\frac{15}{15+K}<0.1\iff K>135.

结合 (e)，能实际达到该稳态误差的范围为 $\boxed{135<K<192}$ 。

(1)(c)、(d)

\boxed{G_0(j\omega)=\frac K{15-9\omega^2+j(23\omega-\omega^3)}}.

正频率处相位达到 $-\pi$ 时，分母虚部为零且实部为负。由 $23\omega-\omega^3=0$ 得

\boxed{\omega_{pc}=\sqrt{23}},\qquad G_0(j\omega_{pc})=-K/192.

(1)(e)

闭环特征多项式为 $s^3+9s^2+23s+15+K$ 。Routh 第一列为

1,\quad9,\quad\frac{192-K}{9},\quad15+K.

故 $\boxed{0<K<192}$ 。

(2)

(a) 中间电容的电流为 $i_1-i_2$ ，故

e_1=Ri_1+e_2,\qquad e_2=e_2(0)+\frac1C\int_0^t(i_1-i_2)\,d\tau.

(b) 输出电容的电流为 $i_2$ ，故

e_2=L\dot i_2+e_3,\qquad e_3=e_3(0)+\frac1C\int_0^t i_2\,d\tau.

(c) 求传递函数时取零初始条件。由 $I_2=CsE_3$ 、 $I_1=Cs(E_2+E_3)$ ，得到

RCsE_2=E_1-E_2-RCsE_3,\qquad LCs^2E_3=E_2-E_3.

与题图各块的输入、输出逐一比较，得

\boxed{G_1(s)=\frac1{RCs},\quad G_2(s)=\frac1{LCs^2},\quad G_3(s)=RCs}.

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日本語版​

題意の要約​

题目描述​

Kai​

(1)(a)、(b)​

(1)(c)、(d)​

(1)(e)​

(2)​