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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2016年8月実施 専門科目 問題7 物理専門2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語版​

複素変数 zz の関数

f(z)=eizcosh⁡(z)f(z)=\frac{e^{iz}}{\cosh(z)}

を考える。また，C1,C2,C3C_1,C_2,C_3 及び C4C_4 は，以下のように定義された積分路である（Fig. 7）。

C1: z=t(−R≤t≤R),C2: z=R+it(0≤t≤π),C3: z=−t+πi(−R≤t≤R),C4: z=−R+i(π−t)(0≤t≤π).\begin{aligned} C_1:\ z&=t&&(-R\le t\le R),\\ C_2:\ z&=R+it&&(0\le t\le\pi),\\ C_3:\ z&=-t+\pi i&&(-R\le t\le R),\\ C_4:\ z&=-R+i(\pi-t)&&(0\le t\le\pi). \end{aligned}

ただし，tt は媒介変数であり，ii は虚数単位である。RR は R>0R>0 を満たす実数である。以下の問に答えよ。

(1) f(z)f(z) のすべての孤立特異点を求めよ。

(2) 複素積分 I=∫C1+C2+C3+C4f(z) dzI=\int_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)\,dz の値を求めよ。

(3) ∫C3f(z) dz=e−π∫C1f(z) dz\int_{C_3}f(z)\,dz=e^{-\pi}\int_{C_1}f(z)\,dz となることを示せ。

(4) lim⁡R→+∞∣∫C2f(z) dz∣=0\lim_{R\to+\infty}\left|\int_{C_2}f(z)\,dz\right|=0 及び lim⁡R→+∞∣∫C4f(z) dz∣=0\lim_{R\to+\infty}\left|\int_{C_4}f(z)\,dz\right|=0 となることを示せ。

(5) 実定積分

∫−∞∞eixcosh⁡(x) dx\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{\cosh(x)}\,dx

の値を求めよ。ただし，xx は実変数である。

题目描述​

令 f(z)=eiz/cosh⁡zf(z)=e^{iz}/\cosh z，R>0R>0。闭合路径为矩形 C1+C2+C3+C4C_1+C_2+C_3+C_4：

C1: z=t(−R≤t≤R),C2: z=R+it(0≤t≤π),C3: z=−t+πi(−R≤t≤R),C4: z=−R+i(π−t)(0≤t≤π).\begin{aligned} C_1:&\ z=t&&(-R\le t\le R),\\ C_2:&\ z=R+it&&(0\le t\le\pi),\\ C_3:&\ z=-t+\pi i&&(-R\le t\le R),\\ C_4:&\ z=-R+i(\pi-t)&&(0\le t\le\pi). \end{aligned}
  1. 求全部孤立奇点。
  2. 求 I=∮C1+C2+C3+C4f(z) dzI=\oint_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)\,dz。
  3. 证明 ∫C3f(z)dz=e−π∫C1f(z)dz\int_{C_3}f(z)dz=e^{-\pi}\int_{C_1}f(z)dz。
  4. 证明 R→∞R\to\infty 时，两条竖边上的积分均趋于零。
  5. 求 ∫−∞∞eix/cosh⁡x dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix}/\cosh x\,dx。

Kai​

(1)​

由 cosh⁡z=0  ⟺  e2z=−1\cosh z=0\iff e^{2z}=-1，全部孤立奇点为

zk=(k+12)πi,k∈Z.\boxed{z_k=\left(k+\frac12\right)\pi i,\qquad k\in\mathbb Z.}

sinh⁡zk=i(−1)k≠0\sinh z_k=i(-1)^k\ne0，故均为一阶极点。

(2)​

矩形内只有极点 z0=πi/2z_0=\pi i/2，其留数为

Res⁡(f,z0)=eiz0sinh⁡z0=e−π/2i.\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{e^{iz_0}}{\sinh z_0}=\frac{e^{-\pi/2}}i.

由留数定理

I=2πe−π/2.\boxed{I=2\pi e^{-\pi/2}.}

(3)​

由 cosh⁡(x+πi)=−cosh⁡x\cosh(x+\pi i)=-\cosh x，有 f(x+πi)=−e−πf(x)f(x+\pi i)=-e^{-\pi}f(x)。上边路径从 R+πiR+\pi i 到 −R+πi-R+\pi i，所以

∫C3f(z)dz=∫R−R[−e−πf(x)]dx=e−π∫C1f(z)dz.\int_{C_3}f(z)dz=\int_R^{-R}[-e^{-\pi}f(x)]dx=e^{-\pi}\int_{C_1}f(z)dz.

(4)​

在 z=±R+iyz=\pm R+iy、0≤y≤π0\le y\le\pi 上，∣eiz∣=e−y≤1|e^{iz}|=e^{-y}\le1，并且

∣cosh⁡(±R+iy)∣2=sinh⁡2R+cos⁡2y≥sinh⁡2R.|\cosh(\pm R+iy)|^2=\sinh^2R+\cos^2y\ge\sinh^2R.

因此两积分的绝对值均不超过 π/sinh⁡R→0\pi/\sinh R\to0。

(5)​

令 R→∞R\to\infty，由 (2)–(4) 得

(1+e−π)∫−∞∞eixcosh⁡xdx=2πe−π/2.(1+e^{-\pi})\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{\cosh x}dx=2\pi e^{-\pi/2}.

故

∫−∞∞eixcosh⁡xdx=πcosh⁡(π/2).\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{\cosh x}dx=\frac\pi{\cosh(\pi/2)}.}
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