東北大学工学研究科電気・情報系 2016年8月実施専門科目問題6 物理専門1

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語版

Fig. 6 のように， $x=0$ に対して対称で下に凸な $1$ 次元ポテンシャル $V(x)$ に束縛された電子の状態を考える。この電子のエネルギー固有値を，エネルギーの低いものから順に $E_n=\hbar\omega_n$ （ $n=0,1,2,\ldots$ ）とし，その各々に対応する固有状態の規格化された波動関数を $\psi_n(x)$ とする。各々の固有状態に縮退はなく， $\psi_n(x)$ は実関数で， $n$ が偶数（奇数）のとき偶関数（奇関数）である。以下の問に答えよ。ただし， $i$ を虚数単位， $m$ を電子の質量， $\hbar=h/(2\pi)$ （ $h$ はプランク定数）とする。必要に応じ，記号

x_{nn'}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)x\psi_{n'}(x)\,dx

を用いよ。

(1) 電子が固有状態 $\psi_n(x)$ にあるときの電子の位置 $\hat x$ （ $=x$ ）の期待値を $X_n$ とする。 $X_n=0$ となることを示せ。

(2) 電子が波動関数

\psi(x)=\frac1{\sqrt2}\{\psi_0(x)+\psi_1(x)\}

で表される状態にあったとき，電子の位置 $\hat x$ の期待値 $X$ を求めよ。

(3) 時刻 $t=0$ における電子の波動関数が $\psi_n(x)$ であったとき，時刻 $t$ における波動関数 $\Psi_n(x,t)$ を， $\psi_n(x)$ および $\omega_n$ を用いて表せ。

(4) 時刻 $t=0$ における電子の波動関数が問 (2) の $\psi(x)$ であったとき，時刻 $t$ における電子の位置 $\hat x$ の期待値 $X(t)$ を求めよ。

(5) 問 (4) において，時刻 $t$ における電子の運動量 $\hat p$ の期待値 $P(t)$ を求め，

P(t)=m\frac d{dt}X(t)

となることを示せ。ここで，関係式

\hat p=\frac{im}{\hbar}[\hat H,\hat x]=\frac{im}{\hbar}(\hat H\hat x-\hat x\hat H)

を用いて良い。 $\hat H$ は系のハミルトニアンである。

题目描述

一维对称束缚势满足 $V(x)=V(-x)$ 。能量本征值为 $E_n=\hbar\omega_n$ ，按能量递增排序。归一化本征函数 $\psi_n(x)$ 实值且非简并； $n$ 为偶数时是偶函数，为奇数时是奇函数。定义

x_{nn'}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)x\psi_{n'}(x)\,dx.

证明每一本征态的位置均值 $X_n=0$ 。
求叠加态 $\psi=(\psi_0+\psi_1)/\sqrt2$ 的位置均值 $X$ 。
初态为 $\psi_n$ 时，写出 $t$ 时刻的波函数 $\Psi_n(x,t)$ 。
初态为 (2) 的叠加态时，求 $X(t)$ 。
对 (4) 求动量均值 $P(t)$ ，并证明 $P(t)=m\,dX(t)/dt$ 。可用 $\hat p=(im/\hbar)[\hat H,\hat x]$ 。

Kai

(1)–(2)

无论 $\psi_n$ 的奇偶性如何， $\psi_n^2$ 均为偶函数，故 $x\psi_n^2$ 是奇函数，所以

\boxed{X_n=x_{nn}=0.}

又 $x_{01}=x_{10}$ 为实数，因此

\boxed{X=\frac12(x_{00}+x_{01}+x_{10}+x_{11})=x_{01}.}

(3)–(4)

\boxed{\Psi_n(x,t)=e^{-i\omega_nt}\psi_n(x).}

对叠加态，令 $\Omega=\omega_1-\omega_0>0$ ，则

\Psi(x,t)=\frac{e^{-i\omega_0t}\psi_0(x)+e^{-i\omega_1t}\psi_1(x)}{\sqrt2},

从而

\boxed{X(t)=x_{01}\cos(\Omega t).}

(5)

给定对易关系使

p_{nn'}=\langle n|\hat p|n'\rangle=im(\omega_n-\omega_{n'})x_{nn'}.

因此 $p_{00}=p_{11}=0,p_{01}=-im\Omega x_{01},p_{10}=im\Omega x_{01}$ ，代入叠加态得

\boxed{P(t)=-m\Omega x_{01}\sin(\Omega t)=m\frac{dX(t)}{dt}.}

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日本語版​

题目描述​

Kai​

(1)–(2)​

(3)–(4)​

(5)​