東北大学 工学研究科 電気・情報系 2016年8月実施 専門科目 問題2 通信工学（半波整流のフーリエ解析）

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語版

変調信号 $s(t)$ および搬送波 $\cos(2\pi f_ct)$ を用いた振幅変調を考える。これらにより生成される振幅変調波を $g_{\mathrm{AM}}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}\cos(2\pi f_ct)$ とする。Fig. 2 はこの変調波 $g_{\mathrm{AM}}(t)$ を復調する整流検波器である。ただし LPF は低域通過フィルタを表し，$0<m\le1$ であるとする。このとき，以下の問に答えよ。

(2) Fig. 2 の節点 X における波形 $\dot g_{\mathrm{AM}}(t)$ は次式で与えられる。

$$\dot g_{\mathrm{AM}}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}q(t),\qquad q(t)=\begin{cases}\cos(2\pi f_ct)&(n-1/4)/f_c\le t\le(n+1/4)/f_c\text{ のとき}\\0&\text{その他}\end{cases}$$

• (a) $s(t)=\cos(2\pi f_mt)$（$0<f_m\ll f_c$）であるとき，$\dot g_{\mathrm{AM}}(t)$ の概形を図示せよ。
• (b) $q(t)$ をフーリエ級数に展開し，$q(t)=\frac1\pi-\frac2\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct)$ となることを示せ。

(3) 変調信号 $s(t)$ が周波数帯域 $[-f_m,f_m]$ に帯域制限されており，LPF の帯域幅が $B$（$f_m\ll B\ll f_c$）であるとき，LPF の出力 $\bar g_{\mathrm{AM}}(t)$ を求めよ。

(4) Fig. 2 の節点 Y における出力 $v_o(t)$ を求めよ。

题目描述

本题取原问题的数学部分 (2)–(4)。消息 $s(t)$ 对载波进行调幅：

$$g_{AM}(t)=[1+ms(t)]\cos(2\pi f_ct),\qquad0<m\le1.$$

半波整流后的信号为 $\hat g_{AM}(t)=[1+ms(t)]q(t)$，其中

$$q(t)=\begin{cases}\cos(2\pi f_ct),&(n-1/4)/f_c\le t\le(n+1/4)/f_c,\quad n\in\mathbb Z,\\0,&\text{其他}. \end{cases}$$

2. (a) 当 $s(t)=\cos(2\pi f_mt)$、$0<f_m\ll f_c$ 时画出 $\hat g_{AM}(t)$；(b) 求 $q(t)$ 的傅里叶级数。原题给出的求证目标为

$$q(t)=\frac1\pi-\frac2\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct).$$

3. 若 $s(t)$ 的频带为 $[-f_m,f_m]$，经过带宽 $B$ 满足 $f_m\ll B\ll f_c$ 的理想低通，求输出 $\bar g_{AM}(t)$。
4. 再经直流隔离后，求输出 $v_o(t)$。

Kai

(2)(a)

$$\hat g_{AM}(t)=[1+m\cos(2\pi f_mt)]\max\{\cos(2\pi f_ct),0\}.$$

正半周保留，负半周为零，各正峰位于包络 $1+m\cos(2\pi f_mt)$ 下。

(2)(b)

令 $u=2\pi f_ct$，写成 $q=a_0/2+\sum_{k\ge1}a_k\cos ku$。偶对称性给出所有正弦系数为零，且

$$a_k=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos u\cos ku\,du.$$

于是

$$a_0=\frac2\pi,\quad a_1=\frac12,\quad a_{2n}=-\frac{2(-1)^n}{\pi(4n^2-1)},\quad a_{2n+1}=0\ (n\ge1).$$

因此按给定分段函数实际得到

$$\boxed{q(t)=\frac1\pi+\frac12\cos(2\pi f_ct)-\frac2\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct).}$$

(3)

除常数项 $1/\pi$ 外，其余谐波及边带均在低通带外，故

$$\boxed{\bar g_{AM}(t)=\frac{1+ms(t)}\pi.}$$

(4)

直流隔离去掉常数项。若消息为零均值，则

$$\boxed{v_o(t)=\frac m\pi s(t).}$$

一般情形为 $v_o(t)=m[s(t)-\overline s]/\pi$，其中 $\overline s$ 为消息的直流分量。