東北大学 工学研究科 電気・情報系 2016年8月実施 専門科目 問題2 通信工学（半波整流のフーリエ解析）

标签：

• 东北大学
• 傅里叶级数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

変調信号 $s(t)$ および搬送波 $\cos(2\pi f_ct)$ を用いた振幅変調を考える．これらにより生成される振幅変調波を $g_{AM}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}\cos(2\pi f_ct)$ とする．Fig. 2 はこの変調波 $g_{AM}(t)$ を復調する整流検波器である．ただし LPF は低域通過フィルタを表し，$0<m\le1$ であるとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1) 回路素子 A および B にはそれぞれ何を用いるべきか答えよ．

(2) Fig. 2 の節点 X における波形 $\hat g_{AM}(t)$ は次式で与えられる．

$$\hat g_{AM}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}q(t)$$

$$q(t)=\begin{cases} \cos(2\pi f_ct)&(n-1/4)/f_c\le t\le(n+1/4)/f_c\text{ のとき}\\ 0&\text{その他} \end{cases}$$

(a) $s(t)=\cos(2\pi f_mt)\ (0<f_m\ll f_c)$ であるとき，$\hat g_{AM}(t)$ の概形を図示せよ．

(b) $q(t)$ をフーリエ級数に展開し，

$$q(t)=\frac1\pi-\frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct)$$

となることを示せ．

(3) 変調信号 $s(t)$ が周波数帯域 $[-f_m,f_m]$ に帯域制限されており，LPF の帯域幅が $B\ (f_m\ll B\ll f_c)$ であるとき，LPF の出力 $\bar g_{AM}(t)$ を求めよ．

(4) Fig. 2 の節点 Y における出力 $v_o(t)$ を求めよ．

题目描述

考虑利用调制信号 $s(t)$ 和载波 $\cos(2\pi f_ct)$ 进行的振幅调制。设由此产生的调幅波为 $g_{AM}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}\cos(2\pi f_ct)$。上方 Fig. 2 是对该调幅波 $g_{AM}(t)$ 进行解调的整流检波器。其中 LPF 表示低通滤波器，并设 $0<m\le1$。回答下列问题。

(1) 电路元件 A、B 分别应采用什么元件？

(2) Fig. 2 中节点 X 处的波形 $\hat g_{AM}(t)$ 由下式给出：

$$\hat g_{AM}(t)=\{1+m\cdot s(t)\}q(t),$$

$$q(t)=\begin{cases} \cos(2\pi f_ct)&(n-1/4)/f_c\le t\le(n+1/4)/f_c,\\ 0&\text{其他情况}. \end{cases}$$

(a) 当 $s(t)=\cos(2\pi f_mt)\ (0<f_m\ll f_c)$ 时，画出 $\hat g_{AM}(t)$ 的大致波形。

(b) 将 $q(t)$ 展开成傅里叶级数，证明

$$q(t)=\frac1\pi-\frac2\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct).$$

(3) 当调制信号 $s(t)$ 限带于频率区间 $[-f_m,f_m]$，且 LPF 的带宽为 $B\ (f_m\ll B\ll f_c)$ 时，求 LPF 的输出 $\bar g_{AM}(t)$。

(4) 求 Fig. 2 中节点 Y 处的输出 $v_o(t)$。

Kai

(1)

A 为二极管，正向从输入指向节点 X，以保留载波的正半周；B 为串联隔直电容，与输出电阻构成高通，去除包络的直流分量。理想恢复消息时，其截止频率应远低于需要保留的消息频率。

(2)

(a)

$$\hat g_{AM}(t)=[1+m\cos(2\pi f_mt)]\max\{\cos(2\pi f_ct),0\}.$$

正半周保留，负半周为零，各正峰位于包络 $1+m\cos(2\pi f_mt)$ 下。

(b)

令 $u=2\pi f_ct$，写成 $q=a_0/2+\sum_{k\ge1}a_k\cos ku$。偶对称性给出所有正弦系数为零，且

$$a_k=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos u\cos ku\,du.$$

于是

$$a_0=\frac2\pi,\quad a_1=\frac12,\quad a_{2n}=-\frac{2(-1)^n}{\pi(4n^2-1)},\quad a_{2n+1}=0\ (n\ge1).$$

因此，傅里叶级数为

$$\boxed{q(t)=\frac1\pi+\frac12\cos(2\pi f_ct)-\frac2\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\cos(4\pi nf_ct).}$$

原題 (2)(b) の表示式には $\tfrac12\cos(2\pi f_ct)$ の項が欠けている。上式は，問題で定義された半波整流波形 $q(t)$ のフーリエ級数である。

(3)

除常数项 $1/\pi$ 外，其余谐波及边带均在低通带外，故

$$\boxed{\bar g_{AM}(t)=\frac{1+ms(t)}\pi.}$$

(4)

直流隔离去掉常数项。若消息为零均值，则

$$\boxed{v_o(t)=\frac m\pi s(t).}$$

一般情形为 $v_o(t)=m[s(t)-\overline s]/\pi$，其中 $\overline s$ 为消息的直流分量。

Reference

• 公式問題（PDF）