東北大学工学研究科電気・情報系 2016年3月実施専門科目問題7 物理専門2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

複素変数 $z$ の関数 $f(z)=1/(z^2-4z-1)$ を考える。

$C$ を $z=e^{i\theta}$ （ $0\le\theta\le2\pi$ ）により表される円周上を正の向きに回る積分路とするとき，以下の問に答えよ。ただし， $i$ は虚数単位である。

(1) 関数 $f(z)$ のすべての孤立特異点とその留数を求めよ。

(2) 関数 $f(z)$ の領域 $0<|z-2+\sqrt5|<2\sqrt5$ における $z=2-\sqrt5$ まわりのローラン級数を求めよ。

(3) 複素積分 $\int_Cf(z)\,dz$ を求めよ。

(4) 複素積分 $\int_Cf(-z)\,dz$ を求めよ。

(5) 実変数 $x$ の関数 $g(x)=1/(2i+\sin x)$ のフーリエ級数を求めよ。

令 $f(z)=1/(z^2-4z-1)$ ， $C$ 为单位圆 $z=e^{i\theta}$ （ $0\le\theta\le2\pi$ ）的正向路径。

记 $a=2-\sqrt5,b=2+\sqrt5$ 。两奇点均为一阶极点，且

\boxed{\operatorname{Res}(f,a)=-\frac1{2\sqrt5},\qquad\operatorname{Res}(f,b)=\frac1{2\sqrt5}.}

令 $w=z-a$ ，则 $f=1/[w(w-2\sqrt5)]$ ，所以

\boxed{f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{n-1}}{(2\sqrt5)^{n+1}},\qquad0<|z-a|<2\sqrt5.}

单位圆内只有 $a$ ，故

\boxed{\oint_Cf(z)dz=-\frac{\pi i}{\sqrt5}.}

而 $f(-z)$ 在圆内的极点为 $-a$ ，留数为 $-\operatorname{Res}(f,a)=1/(2\sqrt5)$ ，所以

\boxed{\oint_Cf(-z)dz=\frac{\pi i}{\sqrt5}.}

令 $q=\sqrt5-2\in(0,1)$ 、 $z=e^{ix}$ 。有

g(x)=\frac{2iz}{z^2-4z-1},\qquad a=-q,\quad b=q^{-1}.

在 $|a|<|z|<b$ 中分别展开两极点的部分分式，得到

\boxed{g(x)=-\frac{i}{\sqrt5}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}q^n\{e^{inx}+(-1)^ne^{-inx}\}\right].}

等价的实三角形式为

\boxed{g(x)=-\frac{i}{\sqrt5} -\frac{2i}{\sqrt5}\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k}\cos(2kx) +\frac2{\sqrt5}\sum_{k=0}^{\infty}q^{2k+1}\sin((2k+1)x).}

因 $0<q<1$ ，级数对所有实 $x$ 绝对且一致收敛。