東北大学工学研究科電気・情報系 2016年3月実施専門科目問題6 物理専門1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$x$ 軸上のポテンシャル

V(x)=\begin{cases}\infty&(x<0)\\0&(0\le x\le L)\\V_0&(x>L)\end{cases}

の中の質量 $m$ の粒子の量子状態を考える。ここで， $L$ および $V_0$ は正の定数であり，粒子はエネルギー $E$ （ $0<E<V_0$ ）の定常状態にある。以下の問に答えよ。ただし， $\hbar=h/(2\pi)$ （ $h$ はプランク定数）， $i$ は虚数単位とする。

(1) $0\le x\le L$ の領域における定常状態の波動関数，すなわち時間に独立なシュレーディンガー方程式の解を $\psi_1(x)$ とする。 $\psi_1(x)$ は一般に

\psi_1(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}

と書ける。ここで， $A$ および $B$ は複素数の定数， $k$ は正の定数である。 $k$ を $m,E,\hbar$ を用いて表せ。

(2) $x=0$ で $\psi_1(x)$ が満たすべき条件を考慮し， $B/A$ を求めよ。

(3) $x>L$ の領域における定常状態の波動関数を $\psi_2(x)$ とする。 $\psi_2(x)$ が $x\to\infty$ において $0$ に収束するとき，

\psi_2(x)=Ce^{-\kappa x}

である。ここで， $C$ は複素数の定数， $\kappa$ は正の定数である。 $\kappa$ を $m,E,\hbar,V_0$ を用いて表せ。

(4) 問 (2) の結果とともに $x=L$ で $\psi_1(x)$ および $\psi_2(x)$ が満たすべき条件を考慮し， $A$ と $C$ との関係を表す方程式を $2$ つ求めよ。

(5) $0<E<V_0$ を満たす定常状態が少なくとも $1$ つ存在するための $L$ の下限を求めよ。

质量 $m$ 的粒子处于一维势

V(x)=\begin{cases}\infty,&x<0,\\0,&0\le x\le L,\\V_0,&x>L,\end{cases}\qquad L,V_0>0.

考虑 $0<E<V_0$ 的定态， $\hbar=h/(2\pi)$ 。

定态薛定谔方程为 $-\hbar^2\psi''/(2m)+V\psi=E\psi$ ，故

\boxed{k=\frac{\sqrt{2mE}}\hbar,\qquad\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}\hbar.}

无限高势壁要求 $\psi_1(0)=0$ ，即 $A+B=0$ ，所以 $\boxed{B/A=-1}$ 。

于是 $\psi_1=2iA\sin kx$ 。在有限势阶跃处， $\psi$ 和 $\psi'$ 连续，故

\boxed{2iA\sin(kL)=Ce^{-\kappa L},\qquad 2ikA\cos(kL)=-\kappa Ce^{-\kappa L}.}

相除得到量子化条件 $\boxed{k\cot(kL)=-\kappa}$ 。

令 $u=kL$ 、 $v=\kappa L$ 、 $\rho=L\sqrt{2mV_0}/\hbar$ 。条件为

u\cot u=-v,\qquad u^2+v^2=\rho^2,\quad u,v>0.

最低解须满足 $\pi/2<u<\pi$ 。存在解的充要条件为 $\rho>\pi/2$ ：在 $u=\pi/2$ 处右侧对应的 $v>0$ ；到该分支另一端时连续交叉。故

\boxed{L>\frac{\pi\hbar}{2\sqrt{2mV_0}}.}

等号仅给出 $E=V_0,\kappa=0$ 的阈值，波函数不再平方可积，因此不能取等号。