東北大学工学研究科電気・情報系 2016年3月実施専門科目問題1 電気工学（制御）

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Fig. 1 のようなフィードバック制御系がある。 $r(t)$ は目標値， $y(t)$ は制御量である。

(1) $G_c(s)=K/s$ とする。定数 $K$ が正のとき，次の問に答えよ。

(2) $G_c(s)=K/(s+3)$ とする。 $K=19.2$ のとき，次の問に答えよ。

(a) このフィードバック制御系の開ループ周波数伝達関数 $G(j\omega)$ のゲイン $|G(j\omega)|$ と，位相 $\angle G(j\omega)$ を求めよ。
(b) このフィードバック制御系のナイキスト線図の概形を描け。また，位相交差周波数 $\omega_c$ を求めよ。
(c) このフィードバック制御系のゲイン余裕 GM を求めよ。

单位负反馈系统的前向通路为控制器 $G_c(s)$ 与对象 $1/[(s+1)(s+5)]$ 串联。

\boxed{G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)},\qquad s^3+6s^2+5s+K=0.}

Routh 第一列为 $1,6,(30-K)/6,K$ ，所以

\boxed{0<K<30.}

根轨迹起点为 $0,-1,-5$ ，没有有限零点。实轴段为 $(-\infty,-5)$ 与 $(-1,0)$ ；渐近线重心为 $-2$ ，方向为 $60^\circ,180^\circ,300^\circ$ 。

分离点由 $d[-s(s+1)(s+5)]/ds=0$ 得到，取根轨迹上的解

s_b=-2+\frac{\sqrt{21}}3.

令 $s=i\omega$ ，分离实虚部得 $K=6\omega^2$ 、 $\omega(5-\omega^2)=0$ 。故 $K>0$ 时虚轴交点为

\boxed{s=\pm i\sqrt5\quad(K=30).}

根轨迹

G(i\omega)=\frac{19.2}{(1+i\omega)(3+i\omega)(5+i\omega)},

\boxed{|G(i\omega)|=\frac{19.2}{\sqrt{(1+\omega^2)(9+\omega^2)(25+\omega^2)}},\quad \arg G=-\arctan\omega-\arctan\frac\omega3-\arctan\frac\omega5.}

分母为 $15-9\omega^2+i\omega(23-\omega^2)$ 。因此正频率曲线从 $G(0)=1.28$ 出发，先位于下半平面，在 $\omega=\sqrt{23}$ 处经过负实轴上的 $-0.1$ ，再从上半平面趋于原点；负频率支为其共轭。

奈奎斯特曲线

\boxed{\omega_{pc}=\sqrt{23},\qquad GM=\frac1{0.1}=10\quad(20\ \mathrm{dB}).}