東北大学工学研究科電気・情報系 2016年3月実施基礎科目問題5 物理基礎1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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日本語版

Fig. 5 に示すように，下向きに一定の力 $Mg$ を受けている半径 $a$ の等方的な剛体球が $\theta$ だけ傾いた面上で静止させられている。ここで， $M$ は球の質量， $g$ は重力加速度である。球は時刻 $t=0$ で静止状態から解放される。球と面との間の摩擦力 $F(\ne0)$ はトルク $T=Fa$ を生じさせる。その結果，球は面上を転がっていく。球は面上で滑らないと仮定し，解放後の球の運動に対する以下の問に答えよ。 $\mu,v,\omega,I$ を，それぞれ，球と面の間の静止摩擦係数，球の重心の速さ，転がりの角速度の大きさ，転がりに対する球の慣性モーメントとせよ。

(1) $\omega$ は $v$ に比例する。 $v/\omega$ の表現を求めよ。

(2) 静止位置から測られた球の下向きの変位距離を $h$ とする。（Fig. 5 を見よ。）球の全運動エネルギーは $E=\frac12Mv^2+\frac12I\omega^2$ で与えられる。 $E$ を $h$ の関数として表せ。

(3) トルク $T$ は $T=I\frac{d\omega}{dt}$ で与えられる。 $T$ の表現を求めよ。

(4) 面から球に対する垂直抗力 $N$ を求めよ。

(5) $F=T/a$ が球と面の間の摩擦力の最大値と等しくなる傾斜角 $\theta=\theta_{\mathrm{Max}}$ を決めよ。 $\theta>\theta_{\mathrm{Max}}$ の傾斜角の面上では球は滑る。

(6) 球が均質と仮定して， $I$ を求めよ。ここで，デカルト（Cartesian）座標系に対し剛体の慣性テンソルの各成分 $I_{ij}$ （ $i,j=1,2,3$ ）は以下で与えられる。

I_{ij}=\int\rho(x_1,x_2,x_3)\left[\delta_{ij}\sum_{k=1}^3x_k^2-x_ix_j\right]dx_1dx_2dx_3.

ここで， $x_i$ は座標 $(x_1,x_2,x_3)$ の $i$ 成分， $\rho(x_1,x_2,x_3)$ は剛体の質量密度， $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタである。

题目描述

质量为 $M$ 、半径为 $a$ 的各向同性刚体球置于倾角为 $\theta$ 的斜面上。球从静止释放，在不打滑的条件下滚动。记球心速率为 $v$ ，角速率为 $\omega$ ，绕球心转轴的转动惯量为 $I$ ，摩擦系数为 $\mu$ ，重力加速度为 $g$ ；球心下降高度为 $h$ 。

求 $v/\omega$ 。
用 $h$ 表示总动能 $E=Mv^2/2+I\omega^2/2$ 。
摩擦力矩 $T=I\,d\omega/dt$ ，求 $T$ 。
求斜面对球的支持力 $N$ 。
求恰好开始打滑的倾角 $\theta_{\max}$ 。
若球均匀，利用惯性张量的积分定义求 $I$ ：

I_{ij}=\int\rho\left(\sum_kx_k^2\delta_{ij}-x_ix_j\right)dV.

Kai

(1)–(2)

纯滚动条件为 $v=a\omega$ ，所以 $\boxed{v/\omega=a}$ 。静摩擦力的接触点瞬时速度为零，不做功，故

\boxed{E=Mgh,\qquad v^2=\frac{2Mgh}{M+I/a^2}.}

(3)–(4)

设沿坡向下加速度为 $A$ ，静摩擦力大小为 $F$ （沿坡向上），则

MA=Mg\sin\theta-F,\qquad Fa=I\frac Aa.

消去 $F$ ，得

A=\frac{Ma^2g\sin\theta}{Ma^2+I},\qquad \boxed{T=Fa=\frac{IMag\sin\theta}{Ma^2+I}.}

法向无加速度，故 $\boxed{N=Mg\cos\theta}$ 。

(5)

由 $F=\mu N$ ，

\frac{IMg\sin\theta_{\max}}{Ma^2+I}=\mu Mg\cos\theta_{\max},

因此

\boxed{\theta_{\max}=\arctan\!\left[\mu\left(1+\frac{Ma^2}{I}\right)\right].}

(6)

球对称性使所有非对角项为零，三个对角项相等。令 $\rho=3M/(4\pi a^3)$ ，则

I=I_{zz}=\rho\int_0^a r^4dr\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi\int_0^{2\pi}d\varphi =\frac{8\pi\rho a^5}{15}=\boxed{\frac25Ma^2}.

均匀球于是满足 $A=5g\sin\theta/7$ 、 $T=2Mag\sin\theta/7$ ，以及 $\theta_{\max}=\arctan(7\mu/2)$ 。

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题目描述​

Kai​

(1)–(2)​

(3)–(4)​

(5)​

(6)​