東北大学工学研究科電気・情報系 2016年3月実施基礎科目問題3 情報基礎1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$x_1,x_2,\ldots,x_n\in\{0,1\}$ とする。 $n$ 変数論理関数 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ を $n+1$ 個の実数 $(w_1,w_2,\ldots,w_n,\theta)$ に対して

f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\begin{cases}1&\text{if }w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n\ge\theta\\0&\text{otherwise}\end{cases}

と書けるとき， $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ をしきい値関数という。以下の問に答えよ。なお $\land$ は論理積演算， $\lor$ は論理和演算， $\bar{\phantom x}$ を否定演算とする。

(1) $2$ 変数論理関数 $\operatorname{NAND}(x,y)=\overline{x\land y}$ がしきい値関数であることを示せ。

(2) $2$ 変数論理関数 $\operatorname{EXOR}(x,y)=(x\land\bar y)\lor(\bar x\land y)$ がしきい値関数でないことを示せ。

(3) 問 (2) で定義された $\operatorname{EXOR}(x,y)$ に対し， $\operatorname{EXOR}(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ となる $3$ つの $2$ 変数しきい値関数 $f,g,h$ が存在するか判定し，その根拠を示せ。

(4) $w_1=7,w_2=-3,w_3=-2,w_4=-1,\theta=0$ である $4$ 変数しきい値関数のカルノー図を示し，その最簡積和形を書け。

若存在实数 $w_1,\ldots,w_n,\theta$ 使

f(x_1,\ldots,x_n)=\begin{cases}1,&\sum_iw_ix_i\ge\theta,\\0,&\text{其他},\end{cases}\qquad x_i\in\{0,1\},

则称 $f$ 为阈值函数。

取 $w_x=w_y=-1,\theta=-1$ ，则 $-x-y\ge-1$ 恰好在 $(x,y)\ne(1,1)$ 时成立。

若异或为阈值函数，则从输入 $00,10,01,11$ 分别得到

0<\theta,\quad w_x\ge\theta,\quad w_y\ge\theta,\quad w_x+w_y<\theta.

但前面三个条件推出 $w_x+w_y\ge2\theta>\theta$ ，矛盾。

存在。取 $g(x,y)=x\lor y$ 、 $h(x,y)=\operatorname{NAND}(x,y)$ 、 $f(u,v)=u\land v$ ，则

f(g,h)=(x+y)\overline{xy}=x\bar y+\bar xy.

三者均为阈值函数：OR、AND 的权重均可取 $(1,1)$ ，阈值分别为 $1,2$ ；NAND 见 (1)。

按格雷码排列，卡诺图为：

$x_1x_2\backslash x_3x_4$	00	01	11	10
00	1	0	0	0
01	0	0	0	0
11	1	1	1	1
10	1	1	1	1

其中 $x_1=1$ 时加权和至少为 $7-3-2-1=1>0$ ； $x_1=0$ 时，须有 $x_2=x_3=x_4=0$ 。故

\boxed{f=x_1+\bar x_2\bar x_3\bar x_4.}