東北大学 工学研究科 電気・情報系 2015年8月実施 専門科目 問題7 物理専門2

标签：

• Tohoku-University
• Convolution
• Fourier-Transform-Differentiation-and-Time-Multiplication

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語版

区間 $-\infty<x<+\infty$ における実変数 $x$ の関数

$$f(x)=\exp\left(-\frac{x^2}{\alpha}\right)$$

とそのフーリエ変換

$$F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\exp(-i\omega x)\,dx$$

を考える。ここで，$i$ は虚数単位，$\alpha$ は正の実数である。以下の問に答えよ。

必要に応じて $\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-ax^2)dx=\sqrt{\pi/a}$ を用いよ。ここで，$a$ は正の実数である。

(1) $xf(x)$ と $x^2f(x)$ が，それぞれ，区間 $-\infty<x<+\infty$ で絶対積分可能であることを示せ。

(2) $x^2f(x)$ のフーリエ変換を求めよ。

(3) $\frac d{d\omega}F(\omega)=C(\omega)F(\omega)$ を満たす関数 $C(\omega)$ を求めよ。

(4) $F(\omega)$ を求めよ。

(5) $2$ つの関数 $g(x)$ と $h(x)$ の畳み込み積分は $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(y)h(x-y)dy$ と定義され，$f(x),g(x),h(x)$ のフーリエ変換をそれぞれ $F(\omega),G(\omega),H(\omega)$ としたとき，$F(\omega)=\sqrt{2\pi}G(\omega)H(\omega)$ と表せる。

積分方程式

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{2}\right)dy=\exp\left(-\frac{x^2}{8}\right)$$

の解 $g(x)$ を求めよ。

题目描述

令 $\alpha>0$，$f(x)=e^{-x^2/\alpha}$，采用傅里叶变换

$$F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx.$$

可用 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\pi/a}$（$a>0$）。

1. 证明 $xf(x)$ 和 $x^2f(x)$ 绝对可积。
2. 求 $x^2f(x)$ 的傅里叶变换。
3. 求满足 $F'(\omega)=C(\omega)F(\omega)$ 的 $C(\omega)$。
4. 求 $F(\omega)$。
5. 已知该规范下卷积满足 $\mathcal F[g*h]=\sqrt{2\pi}GH$，求积分方程

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(y)e^{-(x-y)^2/2}\,dy=e^{-x^2/8}$$

的解 $g(x)$。

Kai

(1)

直接积分及分部积分得

$$\int_{\mathbb R}|x|e^{-x^2/\alpha}dx=\alpha<\infty,\qquad \int_{\mathbb R}x^2e^{-x^2/\alpha}dx=\frac{\sqrt\pi\alpha^{3/2}}2<\infty.$$

(2)

由 (1) 可在积分号下求导两次，因此

$$\boxed{\mathcal F[x^2f](\omega)=-F''(\omega).}$$

(3)–(4)

由 $f'=-2xf/\alpha$，且分部积分无边界项，

$$i\omega F=\mathcal F[f']=-\frac2\alpha\mathcal F[xf]=-\frac{2i}\alpha F'.$$

故 $C(\omega)=-\alpha\omega/2$。又 $F(0)=\sqrt{\alpha/2}$，解得

$$\boxed{F(\omega)=\sqrt{\frac\alpha2}e^{-\alpha\omega^2/4}.}$$

所以 (2) 亦可写成

$$\boxed{\mathcal F[x^2f](\omega)=\left(\frac\alpha2-\frac{\alpha^2\omega^2}4\right)\sqrt{\frac\alpha2}e^{-\alpha\omega^2/4}.}$$

(5)

右边变换为 $2e^{-2\omega^2}$，核的变换为 $e^{-\omega^2/2}$，所以

$$G(\omega)=\sqrt{\frac2\pi}e^{-3\omega^2/2}.$$

与 $\mathcal F[e^{-x^2/6}]=\sqrt3e^{-3\omega^2/2}$ 比较，得

$$\boxed{g(x)=\sqrt{\frac{2}{3\pi}}e^{-x^2/6}.}$$