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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2015年3月実施 専門科目 問題7 物理専門2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語原題​

複素変数 zz の関数

f(z)=za−1z+1f(z)=\frac{z^{a-1}}{z+1}

を考える。ただし，aa は，0<a<10<a<1 を満たす実定数である。また，C1,C2,C3,C4C_1,C_2,C_3,C_4 は，以下のように定義された積分路である。

C1:z=t(r≤t≤R),C2:z=Reit(0≤t≤2π),C3:z=(R+r−t)e2πi(r≤t≤R),C4:z=rei(2π−t)(0≤t≤2π).\begin{aligned} C_1&:z=t&&(r\le t\le R),\\ C_2&:z=Re^{it}&&(0\le t\le2\pi),\\ C_3&:z=(R+r-t)e^{2\pi i}&&(r\le t\le R),\\ C_4&:z=re^{i(2\pi-t)}&&(0\le t\le2\pi). \end{aligned}

ただし，tt は媒介変数であり，ii は虚数単位である。また，rr と RR はそれぞれ 0<r<10<r<1 と 1<R1<R を満たす実数である。以下の問に答えよ。

(1) 複素積分 ∫C1+C2+C3+C4f(z) dz\int_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)\,dz の値を求めよ。

(2) 複素積分 lim⁡R→+∞∫C2f(z) dz\lim_{R\to+\infty}\int_{C_2}f(z)\,dz，および lim⁡r→+0∫C4f(z) dz\lim_{r\to+0}\int_{C_4}f(z)\,dz の値を求めよ。

(3) 複素積分 ∫C1f(z) dz\int_{C_1}f(z)\,dz と ∫C3f(z) dz\int_{C_3}f(z)\,dz との間に成り立つ関係式を求めよ。

(4) 任意の実数 xx に対して，等式

I=∫0+∞xa−1x+1 dx=πsin⁡(πa)(0<a<1)I=\int_0^{+\infty}\frac{x^{a-1}}{x+1}\,dx=\frac\pi{\sin(\pi a)}\qquad(0<a<1)

が成り立つことを示せ。

题目描述​

设 0<a<10<a<1，f(z)=za−1/(z+1)f(z)=z^{a-1}/(z+1)。取 0<r<1<R0<r<1<R，围道为

C1:z=t(r≤t≤R),C2:z=Reit(0≤t≤2π),C3:z=(R+r−t)e2πi(r≤t≤R),C4:z=rei(2π−t)(0≤t≤2π).\begin{aligned} C_1&:z=t&&(r\le t\le R),\\ C_2&:z=Re^{it}&&(0\le t\le2\pi),\\ C_3&:z=(R+r-t)e^{2\pi i}&&(r\le t\le R),\\ C_4&:z=re^{i(2\pi-t)}&&(0\le t\le2\pi). \end{aligned}

即沿正实轴上岸向右、大圆逆时针、正实轴下岸向左、小圆顺时针的钥匙孔围道。

  1. 求 ∫C1+C2+C3+C4f(z) dz\int_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)\,dz。
  2. 求 R→∞R\to\infty 时 C2C_2 上的积分极限，及 r→0r\to0 时 C4C_4 上的积分极限。
  3. 求 C1,C3C_1,C_3 上积分之间的关系。
  4. 证明 ∫0∞xa−1/(x+1) dx=π/sin⁡(πa)\int_0^\infty x^{a-1}/(x+1)\,dx=\pi/\sin(\pi a)。

Kai​

取支路 za−1=e(a−1)(log⁡∣z∣+iarg⁡z)z^{a-1}=e^{(a-1)(\log|z|+i\arg z)}，0<arg⁡z<2π0<\arg z<2\pi。

(1)​

围道内唯一极点为 z=−1z=-1，其辐角为 π\pi，故

Res⁡z=−1f(z)=eiπ(a−1),\operatorname{Res}_{z=-1}f(z)=e^{i\pi(a-1)},
∫C1+C2+C3+C4f(z) dz=2πieiπ(a−1).\boxed{\int_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)\,dz=2\pi i e^{i\pi(a-1)}}.

(2)​

∣∫C2f(z) dz∣≤2πRaR−1⟶0(a<1),\left|\int_{C_2}f(z)\,dz\right|\le\frac{2\pi R^a}{R-1}\longrightarrow0\quad(a<1),
∣∫C4f(z) dz∣≤2πra1−r⟶0(a>0).\left|\int_{C_4}f(z)\,dz\right|\le\frac{2\pi r^a}{1-r}\longrightarrow0\quad(a>0).

两极限均为 0\boxed0。

(3)​

下岸辐角为 2π2\pi，方向与上岸相反，故

∫C3f(z) dz=−e2πia∫C1f(z) dz.\boxed{\int_{C_3}f(z)\,dz=-e^{2\pi ia}\int_{C_1}f(z)\,dz}.

(4)​

令 I=∫0∞xa−1/(1+x) dxI=\int_0^\infty x^{a-1}/(1+x)\,dx。由前三问

(1−e2πia)I=2πieiπ(a−1).(1-e^{2\pi ia})I=2\pi i e^{i\pi(a-1)}.

利用 1−e2πia=−2ieiπasin⁡πa1-e^{2\pi ia}=-2ie^{i\pi a}\sin\pi a，得

I=πsin⁡πa.\boxed{I=\frac\pi{\sin\pi a}}.
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