東北大学工学研究科電気・情報系 2015年3月実施専門科目問題6 物理専門1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

以下のシュレーディンガー方程式で記述される2準位量子系がを考える。ここに $H$ はハミルトニアン， $|\psi\rangle$ は $H$ の固有状態ベクトル， $\varepsilon$ はその固有値である。

H|\psi\rangle=\varepsilon|\psi\rangle\tag{6A}

H=\begin{pmatrix}E_1&-A\\-A&E_2\end{pmatrix}\tag{6B}

以下の問に答えよ。

(1) この系のエネルギー固有値 $\varepsilon$ をすべて求めよ。

(2) 次のように与えられる $2\times2$ 行列 $U$ を考える。

U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\tag{6C}

$U$ の逆行列 $U^{-1}$ を求めよ。

(3) $|\psi\rangle$ および $H$ を， $U$ と $U^{-1}$ を用いて次式のように $|\phi\rangle$ および $H'$ に変換する。

|\phi\rangle=U^{-1}|\psi\rangle\tag{6D}

H'=U^{-1}HU\tag{6E}

このとき $|\phi\rangle$ は $H'$ の固有状態であり，その固有値は，やはり $\varepsilon$ となることを示せ。

(4) $E_1=E_2=E_0$ とする時， $H$ の固有値 $\varepsilon$ と対応する固有状態ベクトル

|\psi\rangle=\begin{pmatrix}C_1\\C_2\end{pmatrix}\tag{6G}

をすべて求めよ。ただし $|\psi\rangle$ は規格化されているものとする。

(5) $E_1=E_2=E_0$ のとき， $H'$ の行列表現を求め， $H$ の固有値がその対角要素に並ぶことを示せ。

双能级系统满足 $H|\psi\rangle=\varepsilon|\psi\rangle$ ，其中

H=\begin{pmatrix}E_1&-A\\-A&E_2\end{pmatrix}

各参数为实数。

求全部能量特征值。
对 $U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ ，求 $U^{-1}$ 。
令 $|\phi\rangle=U^{-1}|\psi\rangle$ ， $H'=U^{-1}HU$ ，证明 $|\phi\rangle$ 是 $H'$ 的特征向量且特征值仍为 $\varepsilon$ 。
当 $E_1=E_2=E_0$ 时，求全部能量特征值及相应的归一化特征态。
在问 (4) 条件下求 $H'$ ，说明其对角元即能量特征值。

由 $(E_1-\varepsilon)(E_2-\varepsilon)-A^2=0$ ，

\boxed{\varepsilon_\pm=\frac{E_1+E_2}2\pm\sqrt{\left(\frac{E_1-E_2}2\right)^2+A^2}}.

$U^TU=U^2=E$ ，故 $\boxed{U^{-1}=U}$ 。并且

H'|\phi\rangle=U^{-1}HUU^{-1}|\psi\rangle =U^{-1}H|\psi\rangle=\varepsilon|\phi\rangle.

可取

\boxed{\begin{aligned} \varepsilon_s&=E_0-A,&|\psi_s\rangle&=\frac1{\sqrt2}(1,1)^T,\\ \varepsilon_a&=E_0+A,&|\psi_a\rangle&=\frac1{\sqrt2}(1,-1)^T. \end{aligned}}

当 $A=0$ 时二者简并，任意归一化线性组合也为能量 $E_0$ 的特征态。

\boxed{H'=\begin{pmatrix}E_0-A&0\\0&E_0+A\end{pmatrix}}.

$U$ 的两列正是上述标准正交特征态，因此变换将 $H$ 对角化。