東北大学工学研究科電気・情報系 2015年3月実施専門科目問題1 電気工学（制御数学）

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Fig. 1(a)のような制御系がある。制御対象 $P(s)$ および補償器 $C(s)$ は，それぞれ

P(s)=\frac K{s(1+sT)^2},\qquad C(s)=A\frac{1+saB}{1+sB}

で与えられる。ここで， $K,T$ [s]， $A,B$ [s]， $a$ は正である。 $P(s)$ および $C(s)P(s)$ のボード線図を描くと Fig. 1(b)のようになる。同図のように， $P(s)$ は安定限界にある。次の問に答えよ。

(1) $P(s)$ の位相特性から判断して， $T$ [s] の値を求めよ。

(2) $P(s)$ が安定限界となっていることを利用して， $K$ の値を求めよ。

(3) $C(s)$ による補償を施した後の制御系の位相余裕 $PM$ [degree] の値を求めよ。

(4) $C(s)$ の位相の最大値 $\phi_m$ [rad] とそれを与える周波数 $\omega_m$ [rad/s] は，それぞれ，

\phi_m=\sin^{-1}\frac{a-1}{a+1},\qquad\omega_m=\frac1{B\sqrt a}

と表される。 $\omega_m$ はゲイン交差周波数 $\omega_c$ [rad/s] に等しく選ばれている。このとき， $a,B$ [s]，および $A$ の値を求めよ。

(5) 補償前に対する補償後の定常速度偏差の比を求めよ。

单位负反馈系统的被控对象与补偿器为

P(s)=\frac K{s(1+sT)^2},\qquad C(s)=A\frac{1+saB}{1+sB},\qquad K,T,A,a,B>0.

原 Bode 图中， $P$ 在 $\omega=1\,\mathrm{rad/s}$ 处相位为 $-180^\circ$ ；未补偿闭环位于稳定边界。补偿后仍在 $\omega_c=1\,\mathrm{rad/s}$ 处增益交越，该处相位为 $-150^\circ$ 。

\phi_m=\sin^{-1}\frac{a-1}{a+1},\qquad\omega_m=\frac1{B\sqrt a},

并选取 $\omega_m=\omega_c$ ，求 $a,B,A$ 。 5. 求补偿后与补偿前的稳态速度误差之比。

\arg P(j\omega)=-90^\circ-2\arctan(\omega T).

由 $\omega=1$ 时相位为 $-180^\circ$ ，得 $\boxed{T=1\,\mathrm s}$ 。稳定边界要求 $|P(j)|=1$ ，即 $K/2=1$ ，故 $\boxed{K=2}$ 。

\boxed{PM=180^\circ-150^\circ=30^\circ}.

在交越频率处补偿器提供 $30^\circ$ 超前，故

\frac{a-1}{a+1}=\sin30^\circ=\frac12,\qquad\boxed{a=3}.

由 $\omega_m=1$ 得 $\boxed{B=1/\sqrt3\,\mathrm s}$ 。此处 $|C(j)|=A\sqrt a$ ，而 $|P(j)|=1$ ，故

\boxed{A=1/\sqrt3}.

按速度误差常数定义，

K_{v,\rm before}=\lim_{s\to0}sP(s)=K,\qquad K_{v,\rm after}=\lim_{s\to0}sC(s)P(s)=AK.

因此常规误差常数的比较结果为

\boxed{\frac{1/K_{v,\rm after}}{1/K_{v,\rm before}}=\frac1A=\sqrt3}.

严格而言，未补偿闭环的特征多项式为

s(1+s)^2+2=(s+2)(s^2+1),

存在极点 $\pm i$ ，单位斜坡误差含不衰减振荡，实际稳态误差极限不存在。因此 $\sqrt3$ 是误差常数的形式比值；补偿后的实际稳态速度误差为 $\sqrt3/2$ 。