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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2014年8月実施 専門科目 問題6 物理専門1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語原題​

一次元ポテンシャル井戸

V(x)={0,x<0,−V0,0≤x≤a,0,x>a(6A)V(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\-V_0,&0\le x\le a,\\0,&x>a\end{cases}\tag{6A}

を考える（Fig. 6(a)）。質量 mm，エネルギー EE（>0>0）の粒子が x<0x<0 の領域からこの井戸に入射する。以下の問に答えよ。粒子の波動関数を φ(x)\varphi(x) とせよ。必要に応じて ℏ=h/(2π)\hbar=h/(2\pi) を用いよ。ここに hh はプランク定数である。

(1) 領域 x<0x<0 における，時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書け。

(2) 領域 0≤x≤a0\le x\le a における，時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書け。

(3) 領域 x>ax>a における，時間に依存しないシュレーディンガー方程式を書け。

(4) 領域 x<0,0≤x≤a,x>ax<0,0\le x\le a,x>a における φ(x)\varphi(x) をそれぞれ

φ(x)={Aeikx+Be−ikx,x<0,Deik′x+Fe−ik′x,0≤x≤a,Ceikx,x>a(6B)\varphi(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx},&x<0,\\De^{ik'x}+Fe^{-ik'x},&0\le x\le a,\\Ce^{ikx},&x>a\end{cases}\tag{6B}

とおく。kk と k′k' を求めよ。

(5) 式(6B)に与えられる φ(x)\varphi(x) の表式を用い，x=0x=0 および x=ax=a における φ(x)\varphi(x) およびその空間微分 φ′(x)\varphi'(x) の境界条件を全て求めよ。

(6) 問(5)で得られた境界条件から，入射粒子が井戸の上を通り抜ける透過確率 TT は

T=∣CA∣2=[1+V02sin⁡2k′a4E(E+V0)]−1(6C)T=\left|\frac CA\right|^2=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2k'a}{4E(E+V_0)}\right]^{-1}\tag{6C}

と与えられる。TT はエネルギー EE に対して Fig. 6(b)に示されるような振動的な振舞いを見せる。TT が極大となる一群の EE の値を求め，この結果の物理的意味を論ぜよ。

题目描述​

一维方势阱为

V(x)={0,x<0,−V0,0≤x≤a,0,x>a,V0>0.V(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\-V_0,&0\le x\le a,\\0,&x>a,\end{cases}\qquad V_0>0.

质量 mm、能量 E>0E>0 的粒子从左侧入射，ℏ=h/(2π)\hbar=h/(2\pi)。

  1. 写出 x<0x<0 区域的定态 Schrödinger 方程。
  2. 写出 0≤x≤a0\le x\le a 区域的方程。
  3. 写出 x>ax>a 区域的方程。
  4. 波函数写为
φ(x)={Aeikx+Be−ikx,x<0,Deik′x+Fe−ik′x,0≤x≤a,Ceikx,x>a,\varphi(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx},&x<0,\\De^{ik'x}+Fe^{-ik'x},&0\le x\le a,\\Ce^{ikx},&x>a,\end{cases}

求 k,k′k,k'。 5. 写出 x=0,ax=0,a 处波函数和导数的全部边界条件。 6. 给定透射率

T=∣CA∣2=[1+V02sin⁡2(k′a)4E(E+V0)]−1,T=\left|\frac CA\right|^2=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(k'a)}{4E(E+V_0)}\right]^{-1},

求 TT 达到最大值时的能量序列，并解释其意义。

Kai​

(1)—(4)​

定态方程为 −ℏ2φ′′/(2m)+Vφ=Eφ-\hbar^2\varphi''/(2m)+V\varphi=E\varphi，因此

{φ′′+2mEℏ2φ=0,x<0 或 x>a,φ′′+2m(E+V0)ℏ2φ=0,0<x<a.\begin{cases}\varphi''+\dfrac{2mE}{\hbar^2}\varphi=0,&x<0\text{ 或 }x>a,\\[2mm] \varphi''+\dfrac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}\varphi=0,&0<x<a. \end{cases}

故

k=2mEℏ,k′=2m(E+V0)ℏ.\boxed{k=\frac{\sqrt{2mE}}\hbar,\qquad k'=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}\hbar}.

(5)​

有限势能跳变处，φ,φ′\varphi,\varphi' 连续：

A+B=D+F,k(A−B)=k′(D−F),Deik′a+Fe−ik′a=Ceika,k′(Deik′a−Fe−ik′a)=kCeika.\boxed{\begin{aligned} A+B&=D+F,\\k(A-B)&=k'(D-F),\\ De^{ik'a}+Fe^{-ik'a}&=Ce^{ika},\\ k'(De^{ik'a}-Fe^{-ik'a})&=kCe^{ika}. \end{aligned}}

(6)​

T≤1T\le1，当 k′a=nπk'a=n\pi 时取到 11，故

En=n2π2ℏ22ma2−V0>0,n∈N.\boxed{E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}-V_0>0,\qquad n\in\mathbb N}.

此时阱宽为阱内波长的整数个半波长。两界面间多次反射发生共振，使总反射振幅抵消，粒子完全透射。

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