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東北大学 工学研究科 電気・情報系 2014年3月実施 専門科目 問題7 物理専門2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

日本語原題​

複素変数 zz の関数 f(z)=exp⁡(iz2)f(z)=\exp(iz^2) を考える。ii は虚数単位である。また，C1,C2,C3C_1,C_2,C_3 は，以下のように定義された積分路である（Fig. 7）。

C1:z=t(0≤t≤R),C2:z=Reit(0≤t≤π/4),C3:z=eiπ/4(R−t)(0≤t≤R).\begin{aligned} C_1&:z=t&&(0\le t\le R),\\ C_2&:z=Re^{it}&&(0\le t\le\pi/4),\\ C_3&:z=e^{i\pi/4}(R-t)&&(0\le t\le R). \end{aligned}

以下の問に答えよ。

(1) 複素積分 ∫C1+C2+C3f(z) dz\int_{C_1+C_2+C_3}f(z)\,dz を求めよ。

(2) 任意の実数 xx に対して ∫0+∞exp⁡(−x2) dx=π/2\int_0^{+\infty}\exp(-x^2)\,dx=\sqrt\pi/2 であることを利用して，複素積分 lim⁡R→+∞∫C3f(z) dz\lim_{R\to+\infty}\int_{C_3}f(z)\,dz を求めよ。

(3) 複素変数 zz の関数 g(z)g(z) が滑らかな曲線 CC 上で定義された連続関数であるとき，∣∫Cg(z) dz∣≤∫C∣g(z)∣ ∣dz∣|\int_Cg(z)\,dz|\le\int_C|g(z)|\,|dz| が成り立つ。この不等式を利用して，複素積分 lim⁡R→+∞∫C2f(z) dz\lim_{R\to+\infty}\int_{C_2}f(z)\,dz を求めよ。ただし，0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2 を満たす実数 θ\theta に対して成り立つ不等式 2θ/π≤sin⁡θ≤θ2\theta/\pi\le\sin\theta\le\theta を用いてよい。

(4) 実定積分 ∫0+∞sin⁡(x2) dx\int_0^{+\infty}\sin(x^2)\,dx および ∫0+∞cos⁡(x2) dx\int_0^{+\infty}\cos(x^2)\,dx を求めよ。

题目描述​

令 f(z)=eiz2f(z)=e^{iz^2}，积分路径为

C1:z=t (0≤t≤R),C2:z=Reit (0≤t≤π/4),C3:z=eiπ/4(R−t) (0≤t≤R).C_1:z=t\ (0\le t\le R),\quad C_2:z=Re^{it}\ (0\le t\le\pi/4),\quad C_3:z=e^{i\pi/4}(R-t)\ (0\le t\le R).

三段依次构成第一象限中夹角 π/4\pi/4 的扇形边界，方向为 0→R→Reiπ/4→00\to R\to Re^{i\pi/4}\to0。

  1. 求 ∫C1+C2+C3f(z) dz\int_{C_1+C_2+C_3}f(z)\,dz。
  2. 利用 ∫0∞e−x2 dx=π/2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi/2，求 lim⁡R→∞∫C3f(z) dz\lim_{R\to\infty}\int_{C_3}f(z)\,dz。
  3. 利用 ∣∫Cg(z) dz∣≤∫C∣g(z)∣ ∣dz∣|\int_Cg(z)\,dz|\le\int_C|g(z)|\,|dz| 及 2θ/π≤sin⁡θ≤θ2\theta/\pi\le\sin\theta\le\theta（0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2），求 lim⁡R→∞∫C2f(z) dz\lim_{R\to\infty}\int_{C_2}f(z)\,dz。
  4. 求 ∫0∞sin⁡(x2) dx\int_0^\infty\sin(x^2)\,dx 和 ∫0∞cos⁡(x2) dx\int_0^\infty\cos(x^2)\,dx。

Kai​

(1)​

ff 为整函数，由 Cauchy 积分定理，∫C1+C2+C3f(z) dz=0\boxed{\int_{C_1+C_2+C_3}f(z)\,dz=0}。

(2)​

沿 C3C_3 令 z=eiπ/4uz=e^{i\pi/4}u，u:R→0u:R\to0，则

∫C3f(z) dz=−eiπ/4∫0Re−u2 du⟶−π2eiπ/4.\int_{C_3}f(z)\,dz=-e^{i\pi/4}\int_0^R e^{-u^2}\,du \longrightarrow\boxed{-\frac{\sqrt\pi}{2}e^{i\pi/4}}.

(3)​

∣∫C2f(z) dz∣≤R∫0π/4e−R2sin⁡2t dt≤R∫0π/4e−4R2t/π dt=π4R(1−e−R2)⟶0.\left|\int_{C_2}f(z)\,dz\right| \le R\int_0^{\pi/4}e^{-R^2\sin2t}\,dt \le R\int_0^{\pi/4}e^{-4R^2t/\pi}\,dt =\frac\pi{4R}(1-e^{-R^2})\longrightarrow0.

故所求极限为 0\boxed0。

(4)​

由前三问，

∫0∞eix2 dx=π2eiπ/4.\int_0^\infty e^{ix^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}e^{i\pi/4}.

取实部、虚部，得

∫0∞sin⁡(x2) dx=∫0∞cos⁡(x2) dx=π8.\boxed{\int_0^\infty\sin(x^2)\,dx=\int_0^\infty\cos(x^2)\,dx=\sqrt{\frac\pi8}}.
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