東北大学 工学研究科 電気・情報系 2014年3月実施 専門科目 問題4 計算機1
Author
祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)
Description
日本語原題
クロックに同期して，各時刻 t=1,2,… に2つの1ビット信号 xt,yt∈{0,1} を受け取り，2つの1ビット信号 zt,bt∈{0,1} を出力する順序回路を考える。各時刻 t において，
(xtxt−1⋯x2x1)2−(ytyt−1⋯y2y1)2=(ztzt−1⋯z2z1)2−bt⋅2t
が成り立つとする。ただし ( )2 は2進数の値を表す。
(1) (x3x2x1)2=3 かつ (y3y2y1)2=5 のとき，z3,z2,z1,b3 の値をそれぞれ求めよ。
(2) 各時刻 t において，xt−yt=zt−2bt+bt−1 であることを証明せよ。
(3) xt,yt,bt−1 に関する zt と bt の真理値表を書け。
(4) zt と bt を xt,yt,bt−1 に関する最簡積和形（最小論理和形）の論理式で表せ。
题目描述
同步时序电路在时刻 t=1,2,… 接收位 xt,yt，输出位 zt,bt，满足
(xtxt−1⋯x1)2−(ytyt−1⋯y1)2=(ztzt−1⋯z1)2−bt2t.
- 当 (x3x2x1)2=3、(y3y2y1)2=5 时，求 z3,z2,z1,b3。
- 证明 xt−yt=zt−2bt+bt−1。
- 写出关于 xt,yt,bt−1 的 zt,bt 真值表。
- 将 zt,bt 写为最简与或式。
Kai
(1)
3−5=−2=6−8，故 (z3,z2,z1,b3)=(1,1,0,1)。
(2)
把时刻 t 的等式减去时刻 t−1 的等式，再除以 2t−1，即得
xt−yt=zt−2bt+bt−1.
初始借位 b0=0。
(3)
令 x=xt,y=yt,b=bt−1。
| x | y | b | zt | bt |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
(4)
zt=xˉyˉb∨xˉybˉ∨xyˉbˉ∨xyb,
bt=xˉy∨xˉb∨yb.