東北大学 工学研究科 電気・情報系 2014年3月実施 専門科目 問題1 電気工学（制御数学）

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• Steady-State-Error
• Step-Response

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語原題

Fig. 1 (a)，Fig. 1 (b)のような閉ループ制御系がある。ここで，$K_1,K_2,K_3$ は正の定数とする。偏差 $E(s)=X(s)-Y(s)$ として，以下の問に答えよ。

(1) Fig. 1 (a)，Fig. 1 (b)の各制御系について，目標値 $X(s)$ から偏差 $E(s)$ までの伝達関数 $E(s)/X(s)$ を求めよ。

(2) Fig. 1 (a)の制御系について，定常位置偏差（$X(s)=1/s$ に対する定常偏差）が $0$，かつ単位ステップ応答に行き過ぎが生じない $K_1$ の最大値を求めよ。また，この $K_1$ の最大値を用いて定常速度偏差（$X(s)=1/s^2$ に対する定常偏差）を求めよ。

(3) Fig. 1 (a)の制御系において，定常速度偏差が $1$ になるように $K_1$ の値を求めよ。また，ここで求めた $K_1$ の値を用いて単位ステップ応答の概形を描け。

(4) Fig. 1 (b)の制御系において，定常位置偏差が $0$ で，かつ定常速度偏差が $1$ になるように $K_2,K_3$ の値を求めよ。

(5) 問(2)で求めた $K_1$ の最大値と問(4)で求めた $K_2,K_3$ の値を用いるとき，Fig. 1 (a)，Fig. 1 (b)の制御系の単位ステップ応答の違いについて説明せよ。

题目描述

考虑以下两个负反馈系统，$K_1,K_2,K_3>0$。输出均为 $Y(s)$，参考输入为 $X(s)$，所考察的误差定义为 $E(s)=X(s)-Y(s)$。

• 系统 (a)：前向传递函数 $K_1/[s(5s+1)]$，单位负反馈。
• 系统 (b)：前向传递函数 $K_2/(5s+1)$，反馈传递函数 $K_3$。

1. 分别求 $E(s)/X(s)$。
2. 对系统 (a)，求阶跃稳态误差为零、阶跃响应无超调时的最大 $K_1$，并求该参数下的斜坡稳态误差。
3. 对系统 (a)，求斜坡稳态误差为 $1$ 时的 $K_1$，并画出单位阶跃响应概形。
4. 对系统 (b)，求阶跃稳态误差为零、斜坡稳态误差为 $1$ 时的 $K_2,K_3$。
5. 比较问 (2)、(4) 参数下两系统的单位阶跃响应。

Kai

(1)

$$\boxed{\frac{E_a}{X}=\frac{s(5s+1)}{5s^2+s+K_1}},\qquad \boxed{\frac{E_b}{X}=\frac{5s+1+K_2K_3-K_2}{5s+1+K_2K_3}}.$$

(2)

(a) 对所有 $K_1>0$ 稳定且阶跃稳态误差为零。无超调要求特征根为实数，即 $1-20K_1\ge0$，故

$$\boxed{K_{1,\max}=\frac1{20}},\qquad \boxed{e_{\rm ramp}=\lim_{s\to0}\frac{E_a/X}{s}=\frac1{K_1}=20}.$$

(3)

$e_{\rm ramp}=1$ 给出 $\boxed{K_1=1}$。令 $\omega_d=\sqrt{19}/10$，则

$$\boxed{y(t)=1-e^{-t/10}\left(\cos\omega_dt+\frac1{\sqrt{19}}\sin\omega_dt\right)}.$$

响应由 $0$ 起始，初始斜率为 $0$，围绕 $1$ 衰减振荡；首个峰值在 $t=10\pi/\sqrt{19}$，峰值为 $1+e^{-\pi/\sqrt{19}}$。

(4)

阶跃稳态误差为零要求 $1+K_2K_3=K_2$；此时

$$\frac{E_b}{X}=\frac{5s}{5s+K_2},\qquad e_{\rm ramp}=\frac5{K_2}.$$

因此 $\boxed{K_2=5,\ K_3=4/5}$。

(5)

问 (2) 的系统 (a) 为临界阻尼：

$$y_a(t)=1-(1+t/10)e^{-t/10}.$$

问 (4) 的系统 (b) 为一阶系统：

$$y_b(t)=1-e^{-t}.$$

两者都单调趋于 $1$、无超调；(b) 的响应明显更快，初始斜率为 $1$，而 (a) 的初始斜率为 $0$。