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東北大学 工学研究科 土木工学専攻 2023年2月実施 基礎科目 [3] 確率統計

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Author​

Miyake

Description​

原題に基づく要約（日本語）​

公式原題

  1. 箱1〜4から等確率で1箱を選び、その中から部品を無作為に1個取り出す。各箱の部品数は順に 2000,500,1000,10002000,500,1000,1000 個、不良品率は 5%,35%,20%,20%5\%,35\%,20\%,20\%。不良品を取り出す確率と、不良品であったとき箱2から取り出した条件付き確率を求める。
  2. 長方形の辺の測定値 X,YX,Y は独立で、平均は μx,μy\mu_x,\mu_y、分散は σx2,σy2\sigma_x^2,\sigma_y^2。独立同分布の測定 nn 組から面積 A=μxμyA=\mu_x\mu_y を推定する。 Aa=1n∑i=1nXiYi,Ab=XˉYˉ.A_a=\frac1n\sum_{i=1}^nX_iY_i,\qquad A_b=\bar X\bar Y. (1) 両推定量の不偏性を示す。(2) XYXY の分散、(3) AaA_a の分散、(4) AbA_b の分散を求める。(5) μx=μy=1, σx2=σy2=0.5, n=10\mu_x=\mu_y=1,\ \sigma_x^2=\sigma_y^2=0.5,\ n=10 の場合の分散比を求める。

题目描述​

  1. 从四个箱子中等概率选取一个，再从该箱中随机取一个零件。四箱零件数依次为 2000,500,1000,10002000,500,1000,1000，次品率依次为 5%,35%,20%,20%5\%,35\%,20\%,20\%。求取出次品的概率，以及已知取出次品时它来自箱 2 的条件概率。
  2. 长方形两边的测量值 X,YX,Y 相互独立，均值为 μx,μy\mu_x,\mu_y，方差为 σx2,σy2\sigma_x^2,\sigma_y^2。用独立同分布的 nn 组测量结果估计面积 A=μxμyA=\mu_x\mu_y，考虑 Aa=1n∑i=1nXiYi,Ab=XˉYˉ.A_a=\frac1n\sum_{i=1}^nX_iY_i,\qquad A_b=\bar X\bar Y. 证明两种估计量都无偏，分别求 XYXY、AaA_a、AbA_b 的方差；当 μx=μy=1, σx2=σy2=0.5, n=10\mu_x=\mu_y=1,\ \sigma_x^2=\sigma_y^2=0.5,\ n=10 时，求两种估计量的方差比。

Kai​

1.​

(1)​

14⋅5100+14⋅35100+24⋅20100=15\begin{aligned} \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{100} + \frac{1}{4} \cdot \frac{35}{100} + \frac{2}{4} \cdot \frac{20}{100} &= \frac{1}{5} \end{aligned}

(2)​

取り出された部品が箱2からのものでかつ不良品である確率は

14⋅35100=780\begin{aligned} \frac{1}{4} \cdot \frac{35}{100} = \frac{7}{80} \end{aligned}

であるから、求める条件付き確率は

78015=716\begin{aligned} \frac{\frac{7}{80}}{\frac{1}{5}} = \frac{7}{16} \end{aligned}

である。

2.​

(1)​

独立性より E[XiYi]=μxμy=AE[X_iY_i]=\mu_x\mu_y=A であり、Xˉ\bar X と Yˉ\bar Y も独立なので、

E[Aa]=E[Ab]=A.E[A_a]=E[A_b]=A.

(2)​

Z=XYZ=XY とすると、

Var⁡(Z)=(σx2+μx2)(σy2+μy2)−μx2μy2=σx2σy2+μy2σx2+μx2σy2.\operatorname{Var}(Z) =(\sigma_x^2+\mu_x^2)(\sigma_y^2+\mu_y^2)-\mu_x^2\mu_y^2 =\sigma_x^2\sigma_y^2+\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2.

(3)​

各組は独立であるから、

Var⁡(Aa)=σx2σy2+μy2σx2+μx2σy2n.\operatorname{Var}(A_a)=\frac{\sigma_x^2\sigma_y^2+\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2}{n}.

(4)​

(2) を Xˉ,Yˉ\bar X,\bar Y に適用すると、

Var⁡(Ab)=σx2σy2n2+μy2σx2+μx2σy2n.\operatorname{Var}(A_b)=\frac{\sigma_x^2\sigma_y^2}{n^2}+\frac{\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2}{n}.

(5)​

指定値では Var⁡(Aa)=1/8\operatorname{Var}(A_a)=1/8、Var⁡(Ab)=41/400\operatorname{Var}(A_b)=41/400 なので、

Var⁡(Aa)Var⁡(Ab)=5041≃1.22.\boxed{\frac{\operatorname{Var}(A_a)}{\operatorname{Var}(A_b)}=\frac{50}{41}\simeq1.22}.

この条件では AbA_b の方が分散が小さい。

Reference​

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