東北大学 工学研究科 土木工学専攻 2023年2月実施 基礎科目 [3] 確率統計

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• Tohoku-University
• Conditional-Probability
• Bayes-Theorem

Author

Miyake

Description

原題に基づく要約（日本語）

公式原題

1. 箱1〜4から等確率で1箱を選び、その中から部品を無作為に1個取り出す。各箱の部品数は順に $2000,500,1000,1000$ 個、不良品率は $5\%,35\%,20\%,20\%$。不良品を取り出す確率と、不良品であったとき箱2から取り出した条件付き確率を求める。
2. 長方形の辺の測定値 $X,Y$ は独立で、平均は $\mu_x,\mu_y$、分散は $\sigma_x^2,\sigma_y^2$。独立同分布の測定 $n$ 組から面積 $A=\mu_x\mu_y$ を推定する。 $A_a=\frac1n\sum_{i=1}^nX_iY_i,\qquad A_b=\bar X\bar Y.$ (1) 両推定量の不偏性を示す。(2) $XY$ の分散、(3) $A_a$ の分散、(4) $A_b$ の分散を求める。(5) $\mu_x=\mu_y=1,\ \sigma_x^2=\sigma_y^2=0.5,\ n=10$ の場合の分散比を求める。

题目描述

1. 从四个箱子中等概率选取一个，再从该箱中随机取一个零件。四箱零件数依次为 $2000,500,1000,1000$，次品率依次为 $5\%,35\%,20\%,20\%$。求取出次品的概率，以及已知取出次品时它来自箱 2 的条件概率。
2. 长方形两边的测量值 $X,Y$ 相互独立，均值为 $\mu_x,\mu_y$，方差为 $\sigma_x^2,\sigma_y^2$。用独立同分布的 $n$ 组测量结果估计面积 $A=\mu_x\mu_y$，考虑 $A_a=\frac1n\sum_{i=1}^nX_iY_i,\qquad A_b=\bar X\bar Y.$ 证明两种估计量都无偏，分别求 $XY$、$A_a$、$A_b$ 的方差；当 $\mu_x=\mu_y=1,\ \sigma_x^2=\sigma_y^2=0.5,\ n=10$ 时，求两种估计量的方差比。

Kai

1.

(1)

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{100} + \frac{1}{4} \cdot \frac{35}{100} + \frac{2}{4} \cdot \frac{20}{100} &= \frac{1}{5} \end{aligned}$$

(2)

取り出された部品が箱2からのものでかつ不良品である確率は

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \cdot \frac{35}{100} = \frac{7}{80} \end{aligned}$$

であるから、求める条件付き確率は

$$\begin{aligned} \frac{\frac{7}{80}}{\frac{1}{5}} = \frac{7}{16} \end{aligned}$$

である。

2.

(1)

独立性より $E[X_iY_i]=\mu_x\mu_y=A$ であり、$\bar X$ と $\bar Y$ も独立なので、

$E[A_a]=E[A_b]=A.$

(2)

$Z=XY$ とすると、

$$\operatorname{Var}(Z) =(\sigma_x^2+\mu_x^2)(\sigma_y^2+\mu_y^2)-\mu_x^2\mu_y^2 =\sigma_x^2\sigma_y^2+\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2.$$

(3)

各組は独立であるから、

$\operatorname{Var}(A_a)=\frac{\sigma_x^2\sigma_y^2+\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2}{n}.$

(4)

(2) を $\bar X,\bar Y$ に適用すると、

$\operatorname{Var}(A_b)=\frac{\sigma_x^2\sigma_y^2}{n^2}+\frac{\mu_y^2\sigma_x^2+\mu_x^2\sigma_y^2}{n}.$

(5)

指定値では $\operatorname{Var}(A_a)=1/8$、$\operatorname{Var}(A_b)=41/400$ なので、

$\boxed{\frac{\operatorname{Var}(A_a)}{\operatorname{Var}(A_b)}=\frac{50}{41}\simeq1.22}.$

この条件では $A_b$ の方が分散が小さい。

Reference

• 東北大学 土木系 2023年春季 基礎科目（PDF）