東北大学 工学研究科 土木工学専攻 2023年2月実施 基礎科目 [1] 微分積分

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• Tohoku-University
• Taylor-Series
• Polar-Coordinate-Differentials

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，现有解答只能还原前两题。

1. 对 $a>0,b>0$，计算 $\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}.$
2. 在极坐标变换 $x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$ 下：
   1. 求微分 $dx,dy$；
   2. 化简微分形式 $x\,dy-y\,dx$。
3. 第 3 题题干与解答均缺失。
4. 第 4 题题干与解答均缺失。

考点

• 指数型极限：用 Taylor 展开或取对数处理 $1^\infty$ 型极限。
• 全微分：对极坐标变换分别关于 $r,\theta$ 求微分。
• 微分形式与极坐标：代入并消去交叉项，得到 $x\,dy-y\,dx=r^2d\theta$。

Kai

1.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{\log (ab)}{2} x + O(x^2) \right)^{\frac{1}{x}} \\ &= e^{\frac{1}{2} \log (ab)} \\ &= \sqrt{ab} \end{aligned}$$

2.

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{d} x &= \mathrm{d} r \cos \theta - r \mathrm{d} \theta \sin \theta \\ \mathrm{d} y &= \mathrm{d} r \sin \theta + r \mathrm{d} \theta \cos \theta \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x &= r^2 \mathrm{d} \theta \end{aligned}$$

3.

4.