東北大学 工学研究科 土木工学専攻 2023年2月実施 基礎科目 [1] 微分積分

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Author

Miyake

Description

原題に基づく要約（日本語）

公式原題

1. $a,b>0$ に対し、$\displaystyle\lim_{x\to0}((a^x+b^x)/2)^{1/x}$ を求める。
2. $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ のとき $dx,dy$ を計算し、$x\,dy-y\,dx$ を $r,dr,d\theta$ で表す。
3. 領域 $D=\{(x,y,z):y,z\ge0,\ z^2\le4x,\ y^2\le x-x^2\}$ の形と積分範囲を示し、体積を計算する。
4. 微分方程式 $y''-2y'+2y=e^x+2x$ の一般解を求める。

题目描述

1. 对 $a,b>0$，计算 $\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}.$
2. 在极坐标变换 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 下，求 $dx,dy$，并用 $r,dr,d\theta$ 表示 $x\,dy-y\,dx$。
3. 对区域 $D=\{(x,y,z):y,z\ge0,\ z^2\le4x,\ y^2\le x-x^2\}$，说明其形状与积分范围，计算体积。
4. 求微分方程 $y''-2y'+2y=e^x+2x$ 的通解。

Kai

1.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{\log (ab)}{2} x + O(x^2) \right)^{\frac{1}{x}} \\ &= e^{\frac{1}{2} \log (ab)} \\ &= \sqrt{ab} \end{aligned}$$

2.

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{d} x &= \mathrm{d} r \cos \theta - r \mathrm{d} \theta \sin \theta \\ \mathrm{d} y &= \mathrm{d} r \sin \theta + r \mathrm{d} \theta \cos \theta \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x &= r^2 \mathrm{d} \theta \end{aligned}$$

3.

(1)

条件を積分範囲に書き直すと

$$0\le x\le1,\qquad0\le y\le\sqrt{x-x^2},\qquad0\le z\le2\sqrt{x}.$$

$xy$ 平面への射影は $(x-1/2)^2+y^2\le1/4$ の上半円であり、その上に高さ $2\sqrt{x}$ まで積み上げた立体である。

(2)

$$\begin{aligned} \operatorname{Vol}(D) &=\int_0^1\int_0^{\sqrt{x-x^2}}\int_0^{2\sqrt x}dz\,dy\,dx\\ &=2\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx =2\left(\frac23-\frac25\right)=\boxed{\frac8{15}}. \end{aligned}$$

4.

特性方程式は $\lambda^2-2\lambda+2=0$ で、根は $1\pm i$。特殊解として $e^x+x+1$ が取れるから、

$$\boxed{y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^x+x+1}$$

が一般解である。

Reference

• 東北大学 土木系 2023年春季 基礎科目（PDF）