東北大学 工学研究科 土木工学専攻 2023年2月実施 基礎科目 [1] 微分積分

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• 极坐标
• 多元函数微分

Author

Miyake

Description

1

次の極限値を求めよ．ただし，$a>0,b>0$ とする．

$$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$$

2

$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ のとき，以下の問いに答えよ．

(1) $dx$ および $dy$ を求めよ．

(2) $r,dr,\theta,d\theta$ を用いて次式を表せ．

$$x\,dy-y\,dx$$

3

次に示す $xyz$ 空間の領域 $D$ を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

$$D=\{(x,y,z)\mid y\ge0,\ z\ge0,\ z^2\le4x,\ y^2\le x-x^2\}$$

(1) 領域 $D$ を図示せよ．

(2) 領域 $D$ の体積を求めよ．

4

次の微分方程式を解け．ここで，$e$ は自然対数の底である．

$$y''-2y'+2y-e^x-2x=0$$

题目描述

1 求下列极限，其中 $a>0,b>0$。

$$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$$

2 当 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 时，回答下列问题。

(1) 求 $dx$ 和 $dy$。

(2) 用 $r,dr,\theta,d\theta$ 表示 $x\,dy-y\,dx$。

3 考虑 $xyz$ 空间中的区域

$$D=\{(x,y,z)\mid y\ge0,\ z\ge0,\ z^2\le4x,\ y^2\le x-x^2\}.$$

(1) 画出区域 $D$。

(2) 求区域 $D$ 的体积。

4 解下列微分方程，其中 $e$ 为自然对数的底。

$$y''-2y'+2y-e^x-2x=0$$

Kai

1.

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} &= \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{\log (ab)}{2} x + O(x^2) \right)^{\frac{1}{x}} \\ &= e^{\frac{1}{2} \log (ab)} \\ &= \sqrt{ab} \end{aligned}$$

2.

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{d} x &= \mathrm{d} r \cos \theta - r \mathrm{d} \theta \sin \theta \\ \mathrm{d} y &= \mathrm{d} r \sin \theta + r \mathrm{d} \theta \cos \theta \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x &= r^2 \mathrm{d} \theta \end{aligned}$$

3.

(1)

条件を積分範囲に書き直すと

$$0\le x\le1,\qquad0\le y\le\sqrt{x-x^2},\qquad0\le z\le2\sqrt{x}.$$

$xy$ 平面への射影は $(x-1/2)^2+y^2\le1/4$ の上半円であり、その上に高さ $2\sqrt{x}$ まで積み上げた立体である。

(2)

$$\begin{aligned} \operatorname{Vol}(D) &=\int_0^1\int_0^{\sqrt{x-x^2}}\int_0^{2\sqrt x}dz\,dy\,dx\\ &=2\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx =2\left(\frac23-\frac25\right)=\boxed{\frac8{15}}. \end{aligned}$$

4.

特性方程式は $\lambda^2-2\lambda+2=0$ で、根は $1\pm i$。特殊解として $e^x+x+1$ が取れるから、

$$\boxed{y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^x+x+1}$$

が一般解である。

Reference

• 東北大学 土木系 2023年春季 基礎科目（PDF）