東北大学 工学研究科 応用物理学専攻 2019年8月実施 [問題2] 力学 Author Miyake
Description 一辺の長さが 2 a 2a 2 a 2 a 2a 2 a
筒の中に自然長 2 a 2a 2 a k k k m m m a a a I I I
はじめに板を静止させる。図2はこの状態を真上から見たもの（筒とバネは省略）である。O を原点として水平面内に x , y x,y x , y ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) t = 0 t=0 t = 0 s s s θ \theta θ t = 0 t=0 t = 0 θ = 0 \theta=0 θ = 0
(1) P の座標 x , y x,y x , y a , θ , s a,\theta,s a , θ , s
(2) この系の Lagrangian が次式で表されることを示せ。
L = 1 2 [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ 2 + 1 2 m s ˙ 2 − m a s ˙ θ ˙ − 1 2 k ( a − s ) 2 . L=\frac12[I+m(a^2+s^2)]\dot\theta^2+\frac12m\dot s^2-ma\dot s\dot\theta-\frac12k(a-s)^2. L = 2 1 [ I + m ( a 2 + s 2 )] θ ˙ 2 + 2 1 m s ˙ 2 − ma s ˙ θ ˙ − 2 1 k ( a − s ) 2 . (3) 一般座標 θ \theta θ M M M M M M
(4) M M M
θ ˙ = a 2 m k ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) . \dot\theta=a^2\sqrt{\frac{mk}{(I+2ma^2)(I+ma^2)}}. θ ˙ = a 2 ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) mk . 题目描述
边长为 2 a 2a 2 a I I I 2 a 2a 2 a 2 a 2a 2 a k k k m m m a a a
初始板静止，以 O 为原点设置水平 x , y x,y x , y ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) t = 0 t=0 t = 0 s s s θ \theta θ θ = 0 \theta=0 θ = 0
用 a , θ , s a,\theta,s a , θ , s x , y x,y x , y
证明系统的 Lagrangian 等于日文题面给定的表达式。
令 M M M θ \theta θ M M M
利用 M M M
Kai (1)
( x y ) = a ( cos θ sin θ ) + s ( sin θ − cos θ ) = ( a cos θ + s sin θ a sin θ − s cos θ ) \begin{aligned}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
&= a \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}
+ s \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} a \cos \theta + s \sin \theta \\
a \sin \theta - s \cos \theta \end{pmatrix}
\end{aligned} ( x y ) = a ( cos θ sin θ ) + s ( sin θ − cos θ ) = ( a cos θ + s sin θ a sin θ − s cos θ ) (2)
P の速度を v ⃗ \vec{v} v
v ⃗ = ( − a θ ˙ sin θ + s θ ˙ cos θ + s ˙ sin θ a θ ˙ cos θ + s θ ˙ sin θ − s ˙ cos θ ) ∴ ∣ v ⃗ ∣ 2 = a 2 θ ˙ 2 + s 2 θ ˙ 2 + s ˙ 2 − 2 a s ˙ θ ˙ \begin{aligned}
\vec{v}
&= \begin{pmatrix}
-a \dot{\theta} \sin \theta + s \dot{\theta} \cos \theta + \dot{s} \sin \theta \\
a \dot{\theta} \cos \theta + s \dot{\theta} \sin \theta - \dot{s} \cos \theta
\end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
\left| \vec{v} \right|^2
&= a^2 \dot{\theta}^2 + s^2 \dot{\theta}^2 + \dot{s}^2
- 2a \dot{s} \dot{\theta}
\end{aligned} v ∴ ∣ v ∣ 2 = ( − a θ ˙ sin θ + s θ ˙ cos θ + s ˙ sin θ a θ ˙ cos θ + s θ ˙ sin θ − s ˙ cos θ ) = a 2 θ ˙ 2 + s 2 θ ˙ 2 + s ˙ 2 − 2 a s ˙ θ ˙ なので、ラグランジアン L L L
L = 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m ∣ v ⃗ ∣ 2 − 1 2 k ( a − s ) 2 = 1 2 [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ 2 + 1 2 m s ˙ 2 − m a s ˙ θ ˙ − 1 2 k ( a − s ) 2 \begin{aligned}
L
&= \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2
- \frac{1}{2} k (a-s)^2
\\
&= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
- \frac{1}{2} k (a-s)^2
\end{aligned} L = 2 1 I θ ˙ 2 + 2 1 m ∣ v ∣ 2 − 2 1 k ( a − s ) 2 = 2 1 [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ 2 + 2 1 m s ˙ 2 − ma s ˙ θ ˙ − 2 1 k ( a − s ) 2 (3)
θ \theta θ
d M d t = d d t ∂ L ∂ θ ˙ = ∂ L ∂ θ = 0 \begin{aligned}
\frac{dM}{dt}
= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
= \frac{\partial L}{\partial \theta}
= 0
\end{aligned} d t d M = d t d ∂ θ ˙ ∂ L = ∂ θ ∂ L = 0 なので、 M M M
(4)
2つの保存量
M = ∂ L ∂ θ ˙ = [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ − m a s ˙ E = 1 2 [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ 2 + 1 2 m s ˙ 2 − m a s ˙ θ ˙ + 1 2 k ( a − s ) 2 \begin{aligned}
M
&= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
\\
&= \left[ I + m(a^2 + s^2) \right] \dot{\theta} - ma \dot{s}
\\
E
&= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
+ \frac{1}{2} k (a-s)^2
\end{aligned} M E = ∂ θ ˙ ∂ L = [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ − ma s ˙ = 2 1 [ I + m ( a 2 + s 2 ) ] θ ˙ 2 + 2 1 m s ˙ 2 − ma s ˙ θ ˙ + 2 1 k ( a − s ) 2 がある。
それぞれについて、
t = 0 t=0 t = 0 s = 0 , s ˙ = 0 , θ ˙ = 0 s=0, \ \dot{s}=0, \ \dot{\theta}=0 s = 0 , s ˙ = 0 , θ ˙ = 0 s = a s=a s = a
0 = ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ − m a s ˙ 1 2 k a 2 = 1 2 ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ 2 + 1 2 m s ˙ 2 − m a s ˙ θ ˙ \begin{aligned}
0
&= \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta} - ma \dot{s}
\\
\frac{1}{2} ka^2
&= \frac{1}{2} \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
\end{aligned} 0 2 1 k a 2 = ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ − ma s ˙ = 2 1 ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ 2 + 2 1 m s ˙ 2 − ma s ˙ θ ˙ を得る。
s ˙ = ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ / ( m a ) \dot s=(I+2ma^2)\dot\theta/(ma) s ˙ = ( I + 2 m a 2 ) θ ˙ / ( ma )
1 2 k a 2 = ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) 2 m a 2 θ ˙ 2 . \frac12ka^2=\frac{(I+2ma^2)(I+ma^2)}{2ma^2}\dot\theta^2. 2 1 k a 2 = 2 m a 2 ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) θ ˙ 2 . よって、m , k , a , I > 0 m,k,a,I>0 m , k , a , I > 0
∣ θ ˙ ∣ = a 2 k m ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) . |\dot\theta|=a^2\sqrt{\frac{km}{(I+2ma^2)(I+ma^2)}}. ∣ θ ˙ ∣ = a 2 ( I + 2 m a 2 ) ( I + m a 2 ) km . 静止状態から初めて s = a s=a s = a s ˙ > 0 \dot s>0 s ˙ > 0 θ ˙ \dot\theta θ ˙
Reference 
