東北大学 工学研究科 応用物理学専攻 2018年8月実施 [問題2] 力学

标签：

• Tohoku-University
• Lagrangian-Mechanics
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干及装置图缺失。根据现有解答，可确认系统由转动自由度 $\theta$、沿装置方向的坐标 $s$、质量为 $m$ 的质点 $P$、转动惯量 $I$ 以及劲度系数 $k$ 的弹簧组成；几何常数为 $a$。质点位置可写为

$$\binom{x}{y} =a\binom{\cos\theta}{\sin\theta} +s\binom{\sin\theta}{-\cos\theta}.$$

回答下列可还原的问题。

1. 用 $a,s,\theta$ 表示质点 $P$ 的平面坐标。
2. 求 $P$ 的速度平方，并写出系统的 Lagrangian；弹簧势能为 $\frac12k(a-s)^2$。
3. 定义 $\theta$ 的共轭动量 $M=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta},$ 利用 Euler–Lagrange 方程证明 $M$ 守恒。
4. 利用角动量 $M$ 与机械能 $E$ 两个守恒量，比较初始状态 $s=0,\dot s=0,\dot\theta=0$ 与 $s=a$ 时的状态，消去 $\dot s$ 并求 $\dot\theta$。原题最后要求证明的具体目标表达式未保留。

考点

• 广义坐标与运动学：从旋转基向量表示位置并对时间求导。
• Lagrangian 力学：由平动、转动动能和弹簧势能构造 $L=T-V$。
• 循环坐标：当 $L$ 不显含 $\theta$ 时识别其共轭动量守恒。
• 能量守恒：联立机械能和广义动量守恒关系求瞬时速度。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= a \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a \cos \theta + s \sin \theta \\ a \sin \theta - s \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

P の速度を $\vec{v}$ とすると、

$$\begin{aligned} \vec{v} &= \begin{pmatrix} -a \dot{\theta} \sin \theta + s \dot{\theta} \cos \theta + \dot{s} \sin \theta \\ a \dot{\theta} \cos \theta + s \dot{\theta} \sin \theta - \dot{s} \cos \theta \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \left| \vec{v} \right|^2 &= a^2 \dot{\theta}^2 + s^2 \dot{\theta}^2 + \dot{s}^2 - 2a \dot{s} \dot{\theta} \end{aligned}$$

なので、ラグランジアン $L$ は、

$$\begin{aligned} L &= \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2 - \frac{1}{2} k (a-s)^2 \\ &= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} - \frac{1}{2} k (a-s)^2 \end{aligned}$$

(3)

$\theta$ に関するオイラー-ラグランジュの方程式より、

$$\begin{aligned} \frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \end{aligned}$$

なので、 $M$ は保存する。

(4)

2つの保存量

$$\begin{aligned} M &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \\ &= \left[ I + m(a^2 + s^2) \right] \dot{\theta} - ma \dot{s} \\ E &= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} + \frac{1}{2} k (a-s)^2 \end{aligned}$$

がある。 それぞれについて、 $t=0$ （このとき $s=0, \ \dot{s}=0, \ \dot{\theta}=0$ ）のときと $s=a$ のときを比較して、

$$\begin{aligned} 0 &= \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta} - ma \dot{s} \\ \frac{1}{2} ka^2 &= \frac{1}{2} \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} \end{aligned}$$

を得る。 $\dot{s}$ を消去して $\dot{\theta}$ を求めると、題意の式を得る。