東北大学 工学研究科 応用物理学専攻 2018年8月実施 [問題2] 力学

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• Tohoku-University
• Lagrangian-Mechanics
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum

Author

Miyake

Description

題意の要約（暫定）

回転自由度 $\theta$、装置に沿う座標 $s$、質量 $m$ の質点 $P$、慣性モーメント $I$、ばね定数 $k$ のばねからなる系を考える。幾何学的な定数を $a$ とする。質点の位置は

$$\binom{x}{y} =a\binom{\cos\theta}{\sin\theta} +s\binom{\sin\theta}{-\cos\theta}.$$

と表される。次の問いに答えよ。

1. $a,s,\theta$ を用いて質点 $P$ の平面座標を表せ。
2. $P$ の速さの二乗を求め、系の Lagrangian を書け。ばねのポテンシャルエネルギーは $\frac12k(a-s)^2$ とする。
3. $\theta$ に共役な運動量を $M=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta},$ と定義し、Euler–Lagrange 方程式を用いて $M$ が保存されることを示せ。
4. 角運動量 $M$ と力学的エネルギー $E$ の保存則を用い、初期状態 $s=0,\dot s=0,\dot\theta=0$ と $s=a$ の状態を比較し、$\dot s$ を消去して $\dot\theta$ を求めよ。

题目描述

系统由转动自由度 $\theta$、沿装置方向的坐标 $s$、质量为 $m$ 的质点 $P$、转动惯量 $I$ 以及劲度系数 $k$ 的弹簧组成；几何常数为 $a$。质点位置可写为

$$\binom{x}{y} =a\binom{\cos\theta}{\sin\theta} +s\binom{\sin\theta}{-\cos\theta}.$$

回答下列问题。

1. 用 $a,s,\theta$ 表示质点 $P$ 的平面坐标。
2. 求 $P$ 的速度平方，并写出系统的 Lagrangian；弹簧势能为 $\frac12k(a-s)^2$。
3. 定义 $\theta$ 的共轭动量 $M=\frac{\partial L}{\partial\dot\theta},$ 利用 Euler–Lagrange 方程证明 $M$ 守恒。
4. 利用角动量 $M$ 与机械能 $E$ 两个守恒量，比较初始状态 $s=0,\dot s=0,\dot\theta=0$ 与 $s=a$ 时的状态，消去 $\dot s$ 并求 $\dot\theta$。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= a \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a \cos \theta + s \sin \theta \\ a \sin \theta - s \cos \theta \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

P の速度を $\vec{v}$ とすると、

$$\begin{aligned} \vec{v} &= \begin{pmatrix} -a \dot{\theta} \sin \theta + s \dot{\theta} \cos \theta + \dot{s} \sin \theta \\ a \dot{\theta} \cos \theta + s \dot{\theta} \sin \theta - \dot{s} \cos \theta \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \left| \vec{v} \right|^2 &= a^2 \dot{\theta}^2 + s^2 \dot{\theta}^2 + \dot{s}^2 - 2a \dot{s} \dot{\theta} \end{aligned}$$

なので、ラグランジアン $L$ は、

$$\begin{aligned} L &= \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2 - \frac{1}{2} k (a-s)^2 \\ &= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} - \frac{1}{2} k (a-s)^2 \end{aligned}$$

(3)

$\theta$ に関するオイラー-ラグランジュの方程式より、

$$\begin{aligned} \frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \end{aligned}$$

なので、 $M$ は保存する。

(4)

2つの保存量

$$\begin{aligned} M &= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \\ &= \left[ I + m(a^2 + s^2) \right] \dot{\theta} - ma \dot{s} \\ E &= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} + \frac{1}{2} k (a-s)^2 \end{aligned}$$

がある。 それぞれについて、 $t=0$ （このとき $s=0, \ \dot{s}=0, \ \dot{\theta}=0$ ）のときと $s=a$ のときを比較して、

$$\begin{aligned} 0 &= \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta} - ma \dot{s} \\ \frac{1}{2} ka^2 &= \frac{1}{2} \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta} \end{aligned}$$

を得る。 $\dot s=(I+2ma^2)\dot\theta/(ma)$ を代入すると

$$\frac12ka^2=\frac{(I+2ma^2)(I+ma^2)}{2ma^2}\dot\theta^2.$$

よって、$m,k,a,I>0$ として、

$$|\dot\theta|=a^2\sqrt{\frac{km}{(I+2ma^2)(I+ma^2)}}.$$

静止状態から初めて $s=a$ に達するときは $\dot s>0$ なので、$\dot\theta$ は正の根を取る。