東北大学 工学研究科 応用物理学専攻 2018年8月実施 [問題1] 量子力学

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• Harmonic-Oscillator-Ground-State
• First-Order-Perturbation-of-Displaced-Oscillator
• Wavefunction-Normalization-and-Energy-Expectation

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答整理。考虑质量为 $m$ 的粒子在一维谐振势 $V(x)=\frac12kx^2$ 中的量子运动，并给定基态波函数形式

$$\psi_0(x)=C_0\exp\!\left(-\frac{\sqrt{mk}}{2\hbar}x^2\right).$$

1. 回答下列问题：
   1. 写出定态 Schrödinger 方程；
   2. 由归一化条件求常数 $C_0$（取实正值）；
   3. 将 $\psi_0$ 代入方程，求基态能量 $E_0$；
   4. 求基态中的位置期望值 $\langle x\rangle$。
2. 再加入均匀外力所对应的微扰势 $U(x)=-Fx.$
   1. 用一阶定态微扰论求修正后的基态，并据此求位置期望值；
   2. 对总势 $\frac12kx^2-Fx$ 配方并作坐标平移，精确求 $\langle x\rangle$，与一阶结果比较。

考点

• 一维谐振子：写出 Hamiltonian、基态波函数及零点能。
• 波函数归一化：使用高斯积分确定归一化常数。
• 期望值与对称性：利用奇偶性判断位置期望。
• 定态微扰论：计算线性势对基态的一级波函数修正。
• 配方与坐标平移：将受恒力谐振子化为平移后的标准谐振子。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + \frac{1}{2} kx^2 \psi(x) = E \psi(x) \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} 1 &= \int_{- \infty}^\infty \left| \psi_0(x) \right|^2 dx \\ &= | C_0 |^2 \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} x^2 \right) dx \\ &= | C_0 |^2 \sqrt{\frac{\pi \hbar}{\sqrt{mk}}} \\ &= | C_0 |^2 \left( \frac{\pi^2 \hbar^2}{mk} \right)^{1/4} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} C_0 = \left( \frac{mk}{\pi^2 \hbar^2} \right)^{1/8} \end{aligned}$$

とすればよい。

(c)

$$\begin{aligned} \psi_0'(x) &= - C_0 \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} x \exp \left( - \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar} x^2 \right) \\ &= - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} x \psi_0(x) \\ \psi_0''(x) &= - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} \psi_0(x) - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} x \psi_0'(x) \\ &= - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} \psi_0(x) + \frac{mk}{\hbar^2} x^2 \psi_0(x) \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \psi_0''(x) + \frac{1}{2} kx^2 \psi_0(x) &= \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \psi_0(x) - \frac{1}{2} k x^2 \psi_0(x) + \frac{1}{2} k x^2 \psi_0(x) \\ &= \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \psi_0(x) \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} E_0 = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \end{aligned}$$

を得る。

(d)

$$\begin{aligned} \langle x \rangle &= \int_{- \infty}^\infty \psi_0^*(x) x \psi_0(x) dx \\ &= C_0^2 \int_{- \infty}^\infty x \exp \left( - \frac{\sqrt{mk}}{\hbar} x^2 \right) dx \end{aligned}$$

であるが、被積分関数は奇関数なので、

$$\begin{aligned} \langle x \rangle = 0 \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

(a)

1次の摂動論で、基底状態の波動関数は、

$$\begin{aligned} &\psi_0(x) + \sum_{n=1}^\infty \frac{\psi_n(x)}{E_0-E_n} \int_{- \infty}^\infty \psi_n^*(x) U(x) \psi_0(x) dx \\ &= \psi_0(x) - F \sum_{n=1}^\infty \frac{\psi_n(x)}{E_0-E_n} \int_{- \infty}^\infty x \psi_n^*(x) \psi_0(x) dx \\ &= \psi_0(x) + F \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{k}} \left( \frac{\hbar}{2 \sqrt{mk}} \right)^{1/2} \psi_1(x) \\ &= \psi_0(x) + C_1 \psi_1(x) \end{aligned}$$

である。 ただし、

$$\begin{aligned} C_1 = F \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{k}} \left( \frac{\hbar}{2 \sqrt{mk}} \right)^{1/2} \end{aligned}$$

とおいた。 よって、この場合、

$$\begin{aligned} \langle x \rangle &= \int_{- \infty}^\infty \left(\psi_0(x) + C_1 \psi_1(x) \right)^* x \left(\psi_0(x) + C_1 \psi_1(x) \right) dx \\ &= 2 C_1 \int_{- \infty}^\infty x \psi_1^*(x) \psi_0(x) dx \\ &= 2 F \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{k}} \left( \frac{\hbar}{2 \sqrt{mk}} \right)^{1/2} \left( \frac{\hbar}{2 \sqrt{mk}} \right)^{1/2} \\ &= \frac{F}{k} \end{aligned}$$

を得る。

(b)

$$\begin{aligned} V(x) + U(x) &= \frac{1}{2} k x^2 - F x \\ &= \frac{1}{2} k \left( x - \frac{F}{k} \right)^2 - \frac{F^2}{2k} \end{aligned}$$

であるから、シュレディンガー方程式は次のようになる：

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + \frac{1}{2} k \left( x - \frac{F}{k} \right)^2 \psi(x) = \left(E + \frac{F^2}{2k} \right) \psi(x) \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \xi = x - \frac{F}{k} , \ \ \ \ \phi(\xi) = \psi \left( \xi + \frac{F}{k} \right) \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2m} \phi''(\xi) + \frac{1}{2} k \xi^2 \phi(\xi) = \left(E + \frac{F^2}{2k} \right) \phi(\xi) \end{aligned}$$

となるから、 (1) d) と同様にして、

$$\begin{aligned} \langle \xi \rangle = 0 \end{aligned}$$

がわかる。 よって、

$$\begin{aligned} \langle x \rangle = \frac{F}{k} \end{aligned}$$

を得る。