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東北大学 医工学研究科 医学系コース 2022年秋季実施 数学基礎 問題4-6

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Author​

Miyake, 祭音Myyura

Description​

  1. 次の一階微分方程式の一般解を求めよ。

    1. y′=e2x−y\displaystyle y'=e^{2x-y}
    2. x2+y2=xyy′\displaystyle x^2+y^2=xyy'

  2. 行列 A,BA,B を

    A=(101−2102−11),B=(1−1−12−1−2011)A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&1&0\\2&-1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\2&-1&-2\\0&1&1\end{pmatrix}

    とするとき、(A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B)=A^2-B^2 が成り立つかどうか調べよ。

  3. 連立一次方程式

    {2x+5y+3z=−7,x+2y+4z=3,−x−y+2z=6.\begin{cases} 2x+5y+3z=-7,\\ x+2y+4z=3,\\ -x-y+2z=6. \end{cases}

    について拡大係数行列を示し、解を求めよ。

题目描述​

  1. 求下列一阶微分方程的通解：

    1. y′=e2x−y\displaystyle y'=e^{2x-y}；
    2. x2+y2=xyy′\displaystyle x^2+y^2=xyy'。

  2. 对日文题面给出的两个具体矩阵 A,BA,B，判断 (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B)=A^2-B^2 是否成立。

  3. 写出下列线性方程组的增广矩阵，并求解

    {2x+5y+3z=−7,x+2y+4z=3,−x−y+2z=6.\begin{cases} 2x+5y+3z=-7,\\ x+2y+4z=3,\\ -x-y+2z=6. \end{cases}

Kai​

問題4​

(1)​

y′=e2x−y∴  eydy=e2xdx∴  ey=12e2x+C        (C は積分定数 )∴  y=log⁡(12e2x+C)        (C は積分定数, 12e2x+C>0)\begin{aligned} y' &= e^{2x-y} \\ \therefore \ \ e^y dy &= e^{2x} dx \\ \therefore \ \ e^y &= \frac{1}{2} e^{2x} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= \log \left( \frac{1}{2} e^{2x} + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数},\ \frac{1}{2}e^{2x}+C>0 \right) \end{aligned}

(2)​

z=yx\begin{aligned} z = \frac{y}{x} \end{aligned}

とおくと、

z′=y′x−yx2=(x2y+y)−yx2=1y=1xz∴  zdz=dxx∴  12z2=log⁡∣x∣+C0        (C0 は積分定数 )∴  z=±2log⁡∣x∣+C        (C=2C0)\begin{aligned} z' &= \frac{y'x - y}{x^2} \\ &= \frac{\left( \frac{x^2}{y} + y \right) - y}{x^2} \\ &= \frac{1}{y} \\ &= \frac{1}{xz} \\ \therefore \ \ z dz &= \frac{dx}{x} \\ \\ \therefore \ \ \frac{1}{2} z^2 &= \log |x| + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C_0 \text{ は積分定数 } \right) \\ \therefore \ \ z &= \pm \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C=2C_0 \right) \end{aligned}

となるので、

y=±x2log⁡∣x∣+C        (C は積分定数, x≠0, 2log⁡∣x∣+C>0)\begin{aligned} y &= \pm x \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数},\ x\ne0,\ 2\log|x|+C>0 \right) \end{aligned}

である。

問題5​

AB=BAAB=BA が成り立つので、

(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2=A2−B2\begin{aligned} (A+B)(A-B) &= A^2 - AB + BA - B^2 \\ &= A^2 - B^2 \end{aligned}

が成り立つ。

問題6​

拡大係数行列は次の通りである：

(253−71243−1−126)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & -7 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}

これは次のように行基本変形できる：

(01−5−1312430169)(01−5−13101429001122)(01−5−131014290012)(010−310010012)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 6 & 9 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 11 & 22 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

よって、求める解は x=1,y=−3,z=2x=1,y=-3,z=2 である。

Reference​

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