東北大学医工学研究科医学系コース 2022年8月実施数学基礎問題4-6

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原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答还原。

求下列一阶微分方程的通解：
1. $\displaystyle y'=\frac{y^2}{x}$ ；
2. $\displaystyle y'=5xy$ 。
将点 $(3,\sqrt3)$ 绕原点逆时针旋转 $2\pi/3$ ，求旋转后点的坐标。
对线性方程组
$\begin{cases} x+y-5z=8,\\ -2x+y+5z=-8,\\ -y+2z=-3, \end{cases}$
1. 写成矩阵方程；
2. 用初等行变换求解。

\begin{aligned} \frac{dy}{y^2} &= \frac{dx}{x} \\ \therefore \ \ - \frac{1}{y} &= \log_e \left| x \right| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= - \frac{1}{\log_e \left| x \right| + C} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{dy}{y} &= 5x dx \\ \therefore \ \ \log_e \left| y \right| &= \frac{5}{2} x^2 + C' \ \ \ \ \ \ \ \ ( C' \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= C e^{\frac{5}{2} x^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) & - \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) \\ \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) & \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、求める点の座標は $(-3, \sqrt{3})$ である。

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

拡大係数行列

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 8 \\ -2 & 1 & 5 & -8 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

を次のように行基本変形できる：

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

よって、求める解は $x=2,y=1,z=-1$ である。