東北大学 医工学研究科 医学系コース 2022年8月実施 数学基礎 問題4-6

标签：

• 东北大学
• 可分离变量的常微分方程
• 旋转矩阵与轴角表示
• 高斯消元法

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約（暫定）

4. 次の一階微分方程式の一般解を求めよ。

   1. $\displaystyle y'=\frac{y^2}{x}$
   2. $\displaystyle y'=5xy$

5. 点 $(3,\sqrt3)$ を原点の周りに反時計回りに $2\pi/3$ だけ回転した後の座標を求めよ。

6. 連立一次方程式

   $$\begin{cases} x+y-5z=8,\\ -2x+y+5z=-8,\\ -y+2z=-3, \end{cases}$$

   について、次の問いに答えよ。

   1. 行列方程式の形で表せ。
   2. 基本行変形を用いて解け。

题目描述

4. 求下列一阶微分方程的通解：

   1. $\displaystyle y'=\frac{y^2}{x}$；
   2. $\displaystyle y'=5xy$。

5. 将点 $(3,\sqrt3)$ 绕原点逆时针旋转 $2\pi/3$，求旋转后点的坐标。

6. 对线性方程组

   $$\begin{cases} x+y-5z=8,\\ -2x+y+5z=-8,\\ -y+2z=-3, \end{cases}$$
   1. 写成矩阵方程；
   2. 用初等行变换求解。

Kai

問題4

(1)

$$\begin{aligned} \frac{dy}{y^2} &= \frac{dx}{x} \\ \therefore \ \ - \frac{1}{y} &= \log_e \left| x \right| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= - \frac{1}{\log_e \left| x \right| + C} \end{aligned}$$

ただし $x\neq 0$ かつ $\log_e|x|+C\neq0$ の区間で考え，上式のほかに $y\equiv 0$ も解である。

(2)

$$\begin{aligned} \frac{dy}{y} &= 5x dx \\ \therefore \ \ \log_e \left| y \right| &= \frac{5}{2} x^2 + C' \ \ \ \ \ \ \ \ ( C' \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= C e^{\frac{5}{2} x^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

問題5

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) & - \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) \\ \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) & \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、求める点の座標は $(-3, \sqrt{3})$ である。

問題6

(1)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(2)

拡大係数行列

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 8 \\ -2 & 1 & 5 & -8 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を次のように行基本変形できる：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 8 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -5 & 8 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

よって、求める解は $x=2,y=1,z=-1$ である。