東北大学 医工学研究科 医学系コース 2022年8月実施 数学基礎 問題1-3

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Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答还原。

1. 分别写出下列函数在 $x=0$ 处的前三个非零 Maclaurin 展开项：
   1. $f(x)=\log_e(e^x+1)$；
   2. $f(x)=\sin(3x+\pi/2)$。
2. 计算下列不定积分（积分常数记为 $C$）：
   1. $\displaystyle\int\frac{4}{x^2+2x-3}\,dx$；
   2. $\displaystyle\int\frac{e^x}{e^x+2}\,dx$；
   3. $\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$；
   4. $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$。
3. 曲线 $y=-3x^2+3$ 在 $-1\le x\le1$ 上与 $x$ 轴围成区域，绕 $x$ 轴旋转，求所得旋转体的体积。

考点

• Maclaurin 展开：计算函数在原点的各阶导数并确定非零项。
• 部分分式与换元积分：处理有理式及对数导数型积分。
• 分部积分：计算多项式与指数函数乘积的积分。
• 旋转体体积：使用圆盘法并利用偶函数对称性建立积分。

Kai

問題1

$f(x)$ の $1, 2, k (=3,4,\cdots)$ 階導関数をそれぞれ $f'(x), f''(x), f^{(k)}(x)$ と書く。

(1)

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x}{e^x + 1}, \\ f''(x) &= \frac{e^x}{\left( e^x + 1 \right)^2}, \\ f(0) &= \log_e(2), \\ f'(0) &= \frac{1}{2}, \\ f''(0) &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

なので、 $f(x)$ の第三項までのマクローリン展開は

$$\begin{aligned} f(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \cdots \\ &= \log_e(2) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^2 + \cdots \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} f(x) &= \sin \left( 3x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \cos \left( 3x \right), \\ f'(x) &= -3 \sin \left( 3x \right), \\ f''(x) &= -9 \cos \left( 3x \right), \\ f^{(3)}(x) &= 27 \sin \left( 3x \right), \\ f^{(4)}(x) &= 81 \cos \left( 3x \right), \\ f(0) &= 1, \\ f'(0) &= 0, \\ f''(0) &= -9, \\ f^{(3)}(0) &= 0, \\ f^{(4)}(0) &= 81 \end{aligned}$$

なので、 $f(x)$ の第三項までのマクローリン展開は

$$\begin{aligned} f(x) &= f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2}f''(0) x^2 + \frac{1}{6} f^{(3)} x^3 + \frac{1}{24} f^{(4)} x^4 + \cdots \\ &= 1 - \frac{9}{2} x^2 + \frac{27}{8} x^4 + \cdots \end{aligned}$$

である。

問題2

積分定数を $C$ と書く。

(1)

$$\begin{aligned} \int \frac{4}{x^2 + 2x - 3} dx &= \int \left( - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-1} \right) dx \\ &= - \log_e \left| x+3 \right| + \log_e \left| x-1 \right| + C \\ &= \log_e \left| \frac{x-1}{x+3} \right| + C \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int \frac{e^x}{e^x + 2} dx &= \int \frac{\left( e^x + 2 \right)'}{e^x + 2} dx \\ &= \log_e \left( e^x + 2 \right) + C \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \int x e^{2x} dx &= \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx \\ &= \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} \int \frac{\sin x}{\cos x} dx &= - \int \frac{\left( \cos x \right)'}{\cos x} dx \\ &= - \log_e \left| \cos x \right| + C \end{aligned}$$

問題3

$$\begin{aligned} & 2 \int_0^1 \pi \left( -3x^2 + 3 \right)^2 dx \\ = & 18 \pi \int_0^1 \left( x^4 - 2x^2 + 1 \right) dx \\ = & 18 \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3} x^3 + x \right]_0^1 \\ = & \frac{48}{5} \pi \end{aligned}$$