東北大学医工学研究科医学系コース 2021年8月実施数学基礎問題4-6

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Miyake, 祭音Myyura

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答还原。

求下列一阶微分方程的通解：
1. $\displaystyle y'=e^{2x-y}$ ；
2. $\displaystyle y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ 。
设方阵 $A,B$ 满足 $AB=BA$ ，证明

$(A+B)(A-B)=A^2-B^2.$
解线性方程组

$\begin{cases} 2x+5y+3z=-7,\\ x+2y+4z=3,\\ -x-y+2z=6. \end{cases}$

\begin{aligned} y' &= e^{2x-y} \\ \therefore \ \ e^y dy &= e^{2x} dx \\ \therefore \ \ e^y &= \frac{1}{2} e^{2x} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= \log \left( \frac{1}{2} e^{2x} + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数},\ \frac{1}{2}e^{2x}+C>0 \right) \end{aligned}

\begin{aligned} z = \frac{y}{x} \end{aligned}

とおくと、

\begin{aligned} z' &= \frac{y'x - y}{x^2} \\ &= \frac{\left( \frac{x^2}{y} + y \right) - y}{x^2} \\ &= \frac{1}{y} \\ &= \frac{1}{xz} \\ \therefore \ \ z dz &= \frac{dx}{x} \\ \\ \therefore \ \ \frac{1}{2} z^2 &= \log |x| + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C_0 \text{ は積分定数 } \right) \\ \therefore \ \ z &= \pm \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C=2C_0 \right) \end{aligned}

となるので、

\begin{aligned} y &= \pm x \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数},\ x\ne0,\ 2\log|x|+C>0 \right) \end{aligned}

である。

$AB=BA$ が成り立つので、

\begin{aligned} (A+B)(A-B) &= A^2 - AB + BA - B^2 \\ &= A^2 - B^2 \end{aligned}

が成り立つ。

拡大係数行列は次の通りである：

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & -7 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}

これは次のように行基本変形できる：

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 6 & 9 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 11 & 22 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

よって、求める解は $x=1,y=-3,z=2$ である。