東北大学 医工学研究科 医学系コース 2021年8月実施 数学基礎 問題4-6

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• Tohoku-University
• Separable-Ordinary-Differential-Equation
• Homogeneous-First-Order-Ordinary-Differential-Equation
• Commuting-Matrices
• Gaussian-Elimination

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的题目描述缺失，以下内容依据现有解答还原。

4. 求下列一阶微分方程的通解：
   1. $\displaystyle y'=e^{2x-y}$；
   2. $\displaystyle y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$。
5. 设方阵 $A,B$ 满足 $AB=BA$，证明 $(A+B)(A-B)=A^2-B^2.$
6. 解线性方程组
   $$\begin{cases} 2x+5y+3z=-7,\\ x+2y+4z=3,\\ -x-y+2z=6. \end{cases}$$

考点

• 可分离变量微分方程：分离 $x,y$ 后积分求通解。
• 齐次型微分方程换元：使用 $z=y/x$ 将方程化为可分离形式。
• 矩阵乘法与交换性：展开矩阵乘积并利用 $AB=BA$ 消去交叉项。
• 高斯消元：对增广矩阵作初等行变换求线性方程组。

Kai

問題4

(1)

$$\begin{aligned} y' &= e^{2x-y} \\ \therefore \ \ e^y dy &= e^{2x} dx \\ \therefore \ \ e^y &= \frac{1}{2} e^{2x} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ y &= \log \left( \frac{1}{2} e^{2x} + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} z = \frac{y}{x} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} z' &= \frac{y'x - y}{x^2} \\ &= \frac{\left( \frac{x^2}{y} + y \right) - y}{x^2} \\ &= \frac{1}{y} \\ &= \frac{1}{xz} \\ \therefore \ \ z dz &= \frac{dx}{x} \\ \\ \therefore \ \ \frac{1}{2} z^2 &= \log |x| + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C_0 \text{ は積分定数 } \right) \\ \therefore \ \ z &= \pm \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C=2C_0 \right) \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} y &= \pm x \sqrt{ 2 \log |x| + C } \ \ \ \ \ \ \ \ \left( C \text{ は積分定数 } \right) \end{aligned}$$

である。

問題5

$AB=BA$ が成り立つので、

$$\begin{aligned} (A+B)(A-B) &= A^2 - AB + BA - B^2 \\ &= A^2 - B^2 \end{aligned}$$

が成り立つ。

問題6

拡大係数行列は次の通りである：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & -7 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & 6 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これは次のように行基本変形できる：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 6 & 9 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 11 & 22 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -5 & -13 \\ 1 & 0 & 14 & 29 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

よって、求める解は $x=1,y=-3,z=2$ である。