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東北大学 医工学研究科 医学系コース 2021年8月実施 数学基礎 問題1-3

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Author​

Miyake, 祭音Myyura

Description​

題意の要約（暫定）​

  1. 次の極限を求めよ。
    1. lim⁡x→0x21−cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x}
    2. lim⁡x→0+xlog⁡x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{\log x}
    3. lim⁡x→0+tan⁡−1xx\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{x}}
  2. 次の不定積分を求めよ。
    1. ∫(6x−3)5 dx\displaystyle\int(6x-3)^5\,dx
    2. ∫11−2x3 dx\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt[3]{1-2x}}\,dx
    3. ∫x2log⁡x2 dx\displaystyle\int x^2\log x^2\,dx
    4. ∫13x2+2x−1 dx\displaystyle\int\frac{1}{3x^2+2x-1}\,dx
  3. 曲線 y=2x−x2y=2\sqrt{x}-x^2 と直線 y=xy=x が囲む領域の面積を求めよ。

题目描述​

  1. 计算下列极限：
    1. lim⁡x→0x21−cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x}；
    2. lim⁡x→0+xlog⁡x\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{\log x}；
    3. lim⁡x→0+tan⁡−1xx\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{x}}。
  2. 计算下列不定积分：
    1. ∫(6x−3)5 dx\displaystyle\int(6x-3)^5\,dx；
    2. ∫11−2x3 dx\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt[3]{1-2x}}\,dx；
    3. ∫x2log⁡x2 dx\displaystyle\int x^2\log x^2\,dx；
    4. ∫13x2+2x−1 dx\displaystyle\int\frac{1}{3x^2+2x-1}\,dx。
  3. 求曲线 y=2x−x2y=2\sqrt{x}-x^2 与直线 y=xy=x 所围成区域的面积。

Kai​

問題1​

各極限は次のように求まる。

(1)​

lim⁡x→0x21−cos⁡x=lim⁡x→02xsin⁡x=lim⁡x→02cos⁡x=2\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos x} \\ &= 2 \end{aligned}

(2)​

0<x<e−10<x<e^{-1} では log⁡x<−1\log x<-1 なので、

0≤∣xlog⁡x∣=x∣log⁡x∣≤x⟶0(x→0+).0\le\left|\frac{\sqrt{x}}{\log x}\right| =\frac{\sqrt{x}}{|\log x|} \le\sqrt{x}\longrightarrow0\qquad(x\to0^+).

はさみうちの原理により、

lim⁡x→0+xlog⁡x=0.\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{\log x}=0.

(3)​

lim⁡x→0+tan⁡−1xx=lim⁡x→0+1x2+112x−12=2lim⁡x→0+xx2+1=0\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{x}} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x^2+1}}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ &= 2 \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} \\ &= 0 \end{aligned}

問題2​

(1)​

∫(6x−3)5dx=35∫t5dt2        (t=2x−1)=352⋅6t6+C        (C は積分定数 )=814(2x−1)6+C        (C は積分定数 )\begin{aligned} \int (6x-3)^5 dx &= 3^5 \int t^5 \frac{dt}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ (t=2x-1) \\ &= \frac{3^5}{2 \cdot 6} t^6 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{81}{4} (2x-1)^6 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

(2)​

∫11−2x3dx=∫t−13−dt2        (t=1−2x)=−12⋅32t23+C        (C は積分定数 )=−34(1−2x)23+C        (C は積分定数 )\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt[3]{1-2x}} dx &= \int t^{- \frac{1}{3}} \frac{-dt}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ (t=1-2x) \\ &= - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} t^\frac{2}{3} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= - \frac{3}{4} (1-2x)^\frac{2}{3} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

(3)​

∫x2log⁡x2dx=13x3log⁡x2−13∫x3⋅2xx2dx=13x3log⁡x2−23∫x2dx=13x3log⁡x2−29x3+C        (C は積分定数 )\begin{aligned} \int x^2 \log x^2 dx &= \frac{1}{3} x^3 \log x^2 - \frac{1}{3} \int x^3 \cdot \frac{2x}{x^2} dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x^2 - \frac{2}{3} \int x^2 dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x^2 - \frac{2}{9} x^3 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

(4)​

∫13x2+2x−1dx=∫1(x+1)(3x−1)dx=14∫(−1x+1+33x−1)dx=14∫(−1x+1+1x−13)dx=−14log⁡∣x+1∣+14log⁡∣x−13∣+C        (C は積分定数 )\begin{aligned} \int \frac{1}{3x^2+2x-1} dx &= \int \frac{1}{(x+1)(3x-1)} dx \\ &= \frac{1}{4} \int \left( - \frac{1}{x+1} + \frac{3}{3x-1} \right) dx \\ &= \frac{1}{4} \int \left( - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-\frac{1}{3}} \right) dx \\ &= - \frac{1}{4} \log |x+1| + \frac{1}{4} \log \left| x - \frac{1}{3} \right| + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}

問題3​

t=xt = \sqrt{x} として、

f(t)=(2t−t4)−t2=−t4−t2+2t=−t(t−1)(t2+t+2)\begin{aligned} f(t) &= \left( 2t - t^4 \right) - t^2 \\ &= - t^4 - t^2 + 2t \\ &= -t(t-1) \left( t^2 + t + 2 \right) \end{aligned}

とおくと、 f(t)=0f(t)=0 となるのは t=0,1t=0,1 のときであることがわかる。 0≤t≤10 \leq t \leq 1 では t≥0t\geq0, t−1≤0t-1\leq0, t2+t+2>0t^2+t+2>0 なので、 f(t)≥0f(t)\geq0 である。 よって、求める面積は、

∫01(2x−x2−x)dx=[2⋅23x32−x33−x22]01=12\begin{aligned} \int_0^1 \left( 2 \sqrt{x} - x^2 - x \right) dx &= \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

である。

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