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静岡大学 総合科学技術研究科 情報学専攻 情報科学コース 2022年7月実施 数学・数理系 問1

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

ON 状態と OFF 状態を持つランダムな事象が独立に複数個発生する場合を考える。

ここで，

  • ON 状態と OFF 状態の事象のトータルの個数：NN
  • ON 状態の事象の個数：nn
  • 事象の ON 状態の確率：pp
  • 事象の OFF 状態の確率：q=1−pq=1-p

とするとき，ON 状態の事象が nn 個存在する確率は二項定理より

PN(n)=N!(N−n)! n!pnqN−nP_N(n)=\frac{N!}{(N-n)!\,n!}p^nq^{N-n}

となる。以下の(1)〜(3)に答えよ。

(1) nn の期待値を求めよ。

(2) nn の分散値を求めよ。

(3) ON 状態の確率が極度に小さいとき（p≪qp\ll q），(1)の nn の期待値の平方根と(2)の nn の分散値が一致することを示せ。

题目描述​

考虑多个具有 ON、OFF 两种状态的随机事件独立发生的情况。定义：

  • ON 和 OFF 状态的事件总数：NN
  • ON 状态的事件数：nn
  • 事件为 ON 状态的概率：pp
  • 事件为 OFF 状态的概率：q=1−pq=1-p

由二项式定理，存在 nn 个 ON 状态事件的概率为

PN(n)=N!(N−n)! n!pnqN−n.P_N(n)=\frac{N!}{(N-n)!\,n!}p^nq^{N-n}.

回答以下第(1)至(3)问。

(1) 求 nn 的期望。

(2) 求 nn 的方差。

(3) 当 ON 状态的概率极小时（p≪qp\ll q），证明第(1)问中 nn 的期望的平方根与第(2)问中 nn 的方差一致。

Kai​

(1)​

n=X1+⋯+XNn=X_1+\cdots+X_N と書く。各 XiX_i は独立なベルヌーイ変数であり、E[Xi]=p\mathbb E[X_i]=p なので

E[n]=Np.\boxed{\mathbb E[n]=Np}.

(2)​

Xi2=XiX_i^2=X_i から Var⁡(Xi)=p−p2=pq\operatorname{Var}(X_i)=p-p^2=pq。独立性より

Var⁡(n)=Npq=Np(1−p).\boxed{\operatorname{Var}(n)=Npq=Np(1-p)}.

(3)​

設問の「期待値の平方根と分散値が一致する」という主張は一般には成立しない。正しくは、分散が期待値に近似し、標準偏差が期待値の平方根に近似する。

実際、p≪qp\ll q は p≪1p\ll1 を意味するため

Var⁡(n)E[n]=1−p≃1,Var⁡(n)≃Np=E[n],\begin{gathered} \frac{\operatorname{Var}(n)}{\mathbb E[n]}=1-p\simeq1,\\ \operatorname{Var}(n)\simeq Np=\mathbb E[n], \end{gathered}
σn=Np(1−p)≃Np=E[n].\boxed{\sigma_n=\sqrt{Np(1-p)}\simeq\sqrt{Np}=\sqrt{\mathbb E[n]}}.

例えば Np=4Np=4 で pp が十分小さければ、分散は約 44、期待値の平方根は 22 となり、原文のままでは一致しない。

Reference​

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