静岡大学 総合科学技術研究科 情報学専攻 情報科学コース 2023年度 数学・数理系 問1

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• 二项分布
• 期望与方差

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

独立な $N$ 個の事象はそれぞれ確率 $p$ で ON、確率 $q=1-p$ で OFF となる。ON の個数を $n$ とすると

$$P_N(n)=\frac{N!}{(N-n)!n!}p^nq^{N-n}\qquad(n=0,1,\ldots,N)$$

である。

(1) $n$ の期待値を求めよ。

(2) $n$ の分散値を求めよ。

(3) ON の確率が極度に小さいとき $(p\ll q)$、「(1) の期待値の平方根と (2) の分散値が一致する」ことを示せ。

题目描述

$N$ 个独立事件分别以概率 $p$ 取 ON、以概率 $q=1-p$ 取 OFF。ON 个数 $n$ 服从上述二项分布。

(1) 求 $n$ 的期望；(2) 求方差；(3) 当 $p\ll q$ 时，原题要求证明“期望的平方根与方差一致”。

Kai

(1)

$n=X_1+\cdots+X_N$ と書く。各 $X_i$ は独立なベルヌーイ変数であり、$\mathbb E[X_i]=p$ なので

$$\boxed{\mathbb E[n]=Np}.$$

(2)

$X_i^2=X_i$ から $\operatorname{Var}(X_i)=p-p^2=pq$。独立性より

$$\boxed{\operatorname{Var}(n)=Npq=Np(1-p)}.$$

(3)

設問の「期待値の平方根と分散値が一致する」という主張は一般には成立しない。正しくは、分散が期待値に近似し、標準偏差が期待値の平方根に近似する。

実際、$p\ll q$ は $p\ll1$ を意味するため

$$\frac{\operatorname{Var}(n)}{\mathbb E[n]}=1-p\simeq1, \qquad \operatorname{Var}(n)\simeq Np=\mathbb E[n],$$

$$\boxed{\sigma_n=\sqrt{Np(1-p)}\simeq\sqrt{Np}=\sqrt{\mathbb E[n]}}.$$

例えば $Np=4$ で $p$ が十分小さければ、分散は約 $4$、期待値の平方根は $2$ となり、原文のままでは一致しない。

Reference

• 静岡大学公式問題（PDF 2頁）
• Miyake：参考解答