埼玉大学理工学研究科機械科学専攻 2022年度必修問題1

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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次の問いに答えよ。

$f(x,y)=\log(x+y^2)$ の2階偏導関数 $f_{xx},f_{xy},f_{yy}$ を求めよ。
$f(x,y)=\sin x+\cos y+\sin(x+y)$ について、 $|h|,|k|$ が十分小さいときの $f(\pi/3+h,\pi/3+k)$ の2次近似式を求めよ。
曲面 $z=1/(x^2+y^2)$ の点 $(1,1,1/2)$ における接平面と法線を求めよ。
円柱 $x^2+y^2=9$ 、 $xy$ 平面、および平面 $x+z=3$ で囲まれた立体の体積を重積分で求めよ。

(2)は日本語題文の関数を採用する。原問題の英語題文では第2項が $\sin2y$ となっているため、その場合の近似式も解答に付記する。

题目描述

求 $f=\log(x+y^2)$ 的三个二阶偏导数。
对 $f=\sin x+\cos y+\sin(x+y)$ ，求 $(\pi/3,\pi/3)$ 附近增量为 $(h,k)$ 的二阶近似。原卷英文版本把第二项写作 $\sin2y$ ，解答另列该版本。
求曲面 $z=1/(x^2+y^2)$ 在 $(1,1,1/2)$ 处的切平面和法线。
用重积分求圆柱 $x^2+y^2=9$ 、 $z=0$ 与 $x+z=3$ 围成的体积。

Kai

(1)

実数値関数の定義域は $x+y^2>0$ である。1階偏導関数は $f_x=1/(x+y^2)$ 、 $f_y=2y/(x+y^2)$ なので、

\boxed{f_{xx}=-\frac1{(x+y^2)^2},\qquad f_{xy}=-\frac{2y}{(x+y^2)^2},\qquad f_{yy}=\frac{2(x-y^2)}{(x+y^2)^2}}.

(2)

展開点で

f_0=\sqrt3+\frac12,\quad (f_x,f_y)_0=\left(0,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right),\quad (f_{xx},f_{xy},f_{yy})_0=\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt3+1}{2}\right).

したがって2変数のTaylor展開より

\boxed{f\left(\frac\pi3+h,\frac\pi3+k\right) =\sqrt3+\frac12-\frac{\sqrt3+1}{2}k -\frac{\sqrt3}{2}h^2-\frac{\sqrt3}{2}hk-\frac{\sqrt3+1}{4}k^2 +O\bigl((|h|+|k|)^3\bigr)}.

英語題文の $\widetilde f=\sin x+\sin2y+\sin(x+y)$ に従う場合は、同様に

\widetilde f\left(\frac\pi3+h,\frac\pi3+k\right) =\frac{3\sqrt3}{2}-\frac32k-\frac{\sqrt3}{2}h^2 -\frac{\sqrt3}{2}hk-\frac{5\sqrt3}{4}k^2 +O\bigl((|h|+|k|)^3\bigr).

(3)

$z_x=z_y=-1/2$ が点 $(1,1)$ で成り立つ。よって接平面は

z-\frac12=-\frac12(x-1)-\frac12(y-1),\qquad \boxed{x+y+2z=3}.

法線方向は $(1,1,2)$ であるから、法線は

\boxed{(x,y,z)=\left(1,1,\frac12\right)+t(1,1,2)\quad(t\in\mathbb R)}.

(4)

底面 $D=\{x^2+y^2\le9\}$ 上の高さは $3-x\ge0$ である。極座標を用いると

V=\iint_D(3-x)\,dx\,dy =\int_0^{2\pi}\int_0^3(3-r\cos\theta)r\,dr\,d\theta =\boxed{27\pi}.

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