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埼玉大学 理工学研究科 機械科学専攻 2021年9月実施 必修問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

(1) 次の関数の2階の偏微分 ∂2∂x2,∂2∂x∂y,∂2∂y2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y},\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} を求めよ。

(Answer the second derivative ∂2∂x2,∂2∂x∂y,∂2∂y2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y},\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} of the following function.)

f(x,y)=log⁡(x+y2)f(x,y)=\log(x+y^2)

(2) 関数 f(x,y)=sin⁡x+cos⁡y+sin⁡(x+y)f(x,y)=\sin x+\cos y+\sin(x+y) について、∣h∣|h| と ∣k∣|k| は十分小さいとして、f(π3+h,π3+k)f\left(\dfrac\pi3+h,\dfrac\pi3+k\right) の2次近似式を求めよ。

(For the function f(x,y)=sin⁡x+sin⁡2y+sin⁡(x+y)f(x,y)=\sin x+\sin2y+\sin(x+y), find a quadratic approximation of f(π3+h,π3+k)f\left(\dfrac\pi3+h,\dfrac\pi3+k\right), where hh and kk are small enough.)

(3) 次の関数で表される曲面について、点 (1,1,12)\left(1,1,\dfrac12\right) における接平面と法線を求めよ。

(Find the tangent plane and normal at the point (1,1,12)\left(1,1,\dfrac12\right) for the curved surface represented by the following function.)

z=1x2+y2z=\frac1{x^2+y^2}

(4) 円柱 x2+y2=9x^2+y^2=9 と xyxy 平面および x+z=3x+z=3 で囲まれた立体の体積を重積分を用いて求めなさい。

(Find the volume of the solid surrounded by the cylinder x2+y2=9x^2+y^2=9, xyxy plane and x+z=3x+z=3 using multiple integrals.)

(2) は日本語題文の関数を採用する。原問題の英語題文では第2項が sin⁡2y\sin2y となっているため、その場合の近似式も解答に付記する。

题目描述​

(1) 求下列函数的二阶偏导数 ∂2f∂x2,∂2f∂x∂y,∂2f∂y2\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}。

f(x,y)=log⁡(x+y2)f(x,y)=\log(x+y^2)

(2) 对于函数 f(x,y)=sin⁡x+cos⁡y+sin⁡(x+y)f(x,y)=\sin x+\cos y+\sin(x+y)，设 ∣h∣,∣k∣|h|,|k| 足够小，求 f(π3+h,π3+k)f\left(\dfrac\pi3+h,\dfrac\pi3+k\right) 的二阶近似式。原卷英文题干中的函数为 f(x,y)=sin⁡x+sin⁡2y+sin⁡(x+y)f(x,y)=\sin x+\sin2y+\sin(x+y)，其余条件和求解要求相同。解答以日文版本为主，另附英文版本的近似式。

(3) 对下列函数表示的曲面，求其在点 (1,1,12)\left(1,1,\dfrac12\right) 处的切平面和法线。

z=1x2+y2z=\frac1{x^2+y^2}

(4) 用重积分求圆柱 x2+y2=9x^2+y^2=9、xyxy 平面以及平面 x+z=3x+z=3 所围立体的体积。

Kai​

(1)​

実数値関数の定義域は x+y2>0x+y^2>0 である。1階偏導関数は fx=1/(x+y2)f_x=1/(x+y^2)、fy=2y/(x+y2)f_y=2y/(x+y^2) なので、

fxx=−1(x+y2)2,fxy=−2y(x+y2)2,fyy=2(x−y2)(x+y2)2.\boxed{\begin{gathered} f_{xx}=-\frac1{(x+y^2)^2},\\ f_{xy}=-\frac{2y}{(x+y^2)^2},\\ f_{yy}=\frac{2(x-y^2)}{(x+y^2)^2} \end{gathered}}.

(2)​

展開点で

f0=3+12,(fx,fy)0=(0,−3+12),(fxx,fxy,fyy)0=(−3,−32,−3+12).\begin{gathered} f_0=\sqrt3+\frac12,\\ (f_x,f_y)_0=\left(0,-\frac{\sqrt3+1}{2}\right),\\ (f_{xx},f_{xy},f_{yy})_0=\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt3+1}{2}\right). \end{gathered}

したがって2変数のTaylor展開より

f(π3+h,π3+k)=3+12−3+12k−32h2−32hk−3+14k2+O((∣h∣+∣k∣)3).\boxed{\begin{aligned}&f\left(\frac\pi3+h,\frac\pi3+k\right)\\ &=\sqrt3+\frac12-\frac{\sqrt3+1}{2}k\\ &\quad-\frac{\sqrt3}{2}h^2-\frac{\sqrt3}{2}hk-\frac{\sqrt3+1}{4}k^2\\ &\quad+O\bigl((|h|+|k|)^3\bigr) \end{aligned}}.

英語題文の f~=sin⁡x+sin⁡2y+sin⁡(x+y)\widetilde f=\sin x+\sin2y+\sin(x+y) に従う場合は、同様に

f~(π3+h,π3+k)=332−32k−32h2−32hk−534k2+O((∣h∣+∣k∣)3).\begin{aligned} &\widetilde f\left(\frac\pi3+h,\frac\pi3+k\right)\\ &=\frac{3\sqrt3}{2}-\frac32k-\frac{\sqrt3}{2}h^2\\ &\quad-\frac{\sqrt3}{2}hk-\frac{5\sqrt3}{4}k^2\\ &\quad+O\bigl((|h|+|k|)^3\bigr). \end{aligned}

(3)​

zx=zy=−1/2z_x=z_y=-1/2 が点 (1,1)(1,1) で成り立つ。よって接平面は

z−12=−12(x−1)−12(y−1),x+y+2z=3.z-\frac12=-\frac12(x-1)-\frac12(y-1),\qquad \boxed{x+y+2z=3}.

法線方向は (1,1,2)(1,1,2) であるから、法線は

(x,y,z)=(1,1,12)+t(1,1,2)(t∈R).\boxed{(x,y,z)=\left(1,1,\frac12\right)+t(1,1,2)\quad(t\in\mathbb R)}.

(4)​

底面 D={x2+y2≤9}D=\{x^2+y^2\le9\} 上の高さは 3−x≥03-x\ge0 である。極座標を用いると

V=∬D(3−x) dx dy=∫02π∫03(3−rcos⁡θ)r dr dθ=27π.V=\iint_D(3-x)\,dx\,dy =\int_0^{2\pi}\int_0^3(3-r\cos\theta)r\,dr\,d\theta =\boxed{27\pi}.

Reference​

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